Các dạng bài tập Tổ hợp, Xác suất chọn lọc, có lời giải

Các dạng bài tập Tổ hợp, Xác suất chọn lọc, có lời giải

Phần Tổ hợp – Xác suất Toán lớp 11 sẽ tổng hợp Lý thuyết, các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 200 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có lời giải. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Tổ hợp – Xác suất tương ứng.

Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Ta sử dụng giải pháp chung và 1 số ít chú ý quan tâm sau :

Khi lập một số tự nhiên ta cần lưu ý:

* ai ∈ { 0,1,2, …, 9 } và a1 ≠ 0 .
* x là số chẵn ⇔ an là số chẵn .
* x là số lẻ ⇔ an là số lẻ .
* x chia hết cho 3 ⇔ a1 + a2 + ⋯ + an chia hết cho 3 .

* x chia hết cho 4 ⇔ chia hết cho 4.

* x chia hết cho 5 ⇔ an = 0 hoặc an = 5 .* x chia hết cho 6 ⇔ x là số chẵn và chia hết cho 3 .

* x chia hết cho 8 ⇔ chia hết cho 8.

* x chia hết cho 9 ⇔ a1 + a2 + ⋯ + an chia hết cho 9 .
* x chia hết cho 11 ⇔ tổng những chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng những chữ số ở hàng chẵn là 1 số ít chia hết cho 11 .
* x chia hết cho 25 ⇔ hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75 .

Ví dụ minh họa

Bài 1: Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8.

Đáp án và hướng dẫn giải

a, b, c, d ∈ { 0,1,2,4,5,6,8 }, a ≠ 0 .
Vì x là số chẵn nên d ∈ { 0,2,4,6,8 } .

TH1: d = 0 ⇒ có 1 cách chọn d.

Vì a ≠ 0 nên ta có 6 cách chọn a ∈ { 1,2,4,5,6,8 } .
Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn b ∈ { 1,2,4,5,6,8 } \ { a } .
Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ { 1,2,4,5,6,8 } \ { a, b } .
Suy ra trong trường hợp này có 1.6.5. 4 = 120 số .

TH2: d ≠ 0, d chẵn nên d ∈ {2,4,6,8}. Vậy có 4 cách chọn d

Với mỗi cách chọn d, do a ≠ 0 nên ta có 5 cách chọn a ∈ { 1,2,4,5,6,8 } \ { d } .
Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn b ∈ { 0,1,2,4,5,6,8 } \ { a, d } .
Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ { 0,1,2,4,5,6,8 } \ { a, d, b } .
Suy ra trong trường hợp này có 4.5.5. 4 = 400 số .
Vậy có tổng thể 120 + 400 = 520 số cần lập .

Bài 2: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}.Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.

Đáp án và hướng dẫn giải

a, b, c, d ∈ { 0,1,2,3,4,5,6 }, a ≠ 0 .
Vì a ≠ 0 nên a có 6 cách chọn a ∈ { 1,2,3,4,5,6 } .
Với mỗi cách chọn a ta có 6 cách chọn b ∈ { 0,1,2,3,4,5,6 } \ { a } .
Với mỗi cách chọn a, b ta có 5 cách chọn c ∈ { 0,1,2,3,4,5,6 } \ { a, b } .
Với mỗi cách chọn a, b, c ta có 4 cách chọn d ∈ { 0,1,2,3,4,5,6 } \ { a, b, c } .
Vậy có 6.6.5. 4 = 720 số cần lập .

Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Ta sử dụng chiêu thức chung để làm những bài toán dạng này .

Ví dụ minh họa

Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 6 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 7 con đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C, biết phải đi qua thành phố B.

Đáp án và hướng dẫn giải

Để đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 6 con đường để đi. Với mỗi cách đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 7 cách đi từ thành phố B đến thành phố C. Vậy có 6.7 = 42 cách đi từ thành phố A đến C .

Bài 2: Một lớp có 23 học sinh nữ và 17 học sinh nam.

a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi tìm hiểu môi trường?

b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai học sinh tham gia hội trại với điều kiện có cả nam và nữ?

Đáp án và hướng dẫn giải

a) Theo quy tắc cộng có: 23 +17 = 40 cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi môi trường.

b) Việc chọn hai học sinh (nam và nữ) phải tiến hành hai hành động liên tiếp

Hành động 1 : chọn 1 học viên nữ trong số 23 học viên nữ nên có 23 cách chọn
Hành động 2 : chọn 1 học viên nam có 17 cách chọn
Theo quy tắc nhân, có 23.17 = 391 cách chọn hai học viên tham gia hội trại có cả nam và nữ .

Bài 3: Một túi có 20 viên bi khác nhau trong đó có 7 bi đỏ, 8 bi xanh và 5 bi vàng. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 viên bi khác màu?

Đáp án và hướng dẫn giải

Việc chọn 3 viên bi khác màu phải thực thi 3 hành vi liên tục : chọn 1 bi đỏ trong 7 bi đỏ nên có 7 cách chọn, tựa như có 8 cách chọn 1 bi xanh và 5 cách chọn 1 bi vàng. Theo quy tắc nhân ta có : 7.8.5 = 280 cách .

Cách giải Bài toán xếp vị trí, phân công công việc

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Dựa vào hai quy tắc cộng, quy tắc nhân và những khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổng hợp, đếm gián tiếp, đếm phần bù .
Một số tín hiệu giúp tất cả chúng ta phân biệt được hoán vị, chỉnh hợp hay tổng hợp .

1) Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là:

♦ Tất cả n thành phần đều phải xuất hiện
♦ Mỗi thành phần Open một lần .
♦ Có thứ tự giữa những thành phần .

2) Chỉnh hợp: Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi

♦ Cần chọn k thành phần từ n thành phần, mỗi thành phần Open một lần
♦ k thành phần đã cho được sắp xếp thứ tự .

3) Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi

♦ Cần chọn k thành phần từ n thành phần, mỗi thành phần Open một lần
♦ Không chăm sóc đến thứ tự k thành phần đã chọn .

Ví dụ minh họa

Bài 1: Đội tuyển HSG của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 HS khối 12, 6 HS khối 11 và 5 HS khối10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 cách cử 8 HS đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 HS được chọn

Bài 2: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.

Cách tính tổng nhị thức Niu-tơn

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton

Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên .
Một số hiệu quả ta thường hay sử dụng :

Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng

Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức ( * ) và ta thường gọi ( * ) là đẳng thức đặc trưng .
Cách giải ở trên được trình diễn theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái ( thường có thông số chứa k ) và biến hóa số hạng đó có thông số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn .

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm số nguyên dương n sao cho:

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 2: Tính tổng sau:

Đáp án và hướng dẫn giải

Xem thêm những dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại thông minh, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không lấy phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không lấy phí trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Source: https://mix166.vn
Category: Hỏi Đáp