18.5 Sóng dừng trong cột khí – Vật lý mô phỏng

Những sóng bị ràng buộc bởi điều kiện biên có thể được áp dụng cho việc tạo âm thanh trong các cột khí, điển hình như đại phong cầm hay sáo. Sóng dừng trong các trường hợp này là kết quả của quá trình giao thoa của sóng âm lan truyền theo hai hướng ngược chiều nhau.

Trong ống bịt một đầu, đầu bịt kín đóng vai trò là một nút của sóng chuyển dời, nơi chuyển động dọc theo ống bị cản trở. Do sóng áp suất lệch pha \(1/4\) chu kì so với sóng chuyển dời (xem phần 17.1), đầu bịt kín của ống tương ứng với một bụng của sóng áp suất, nơi có độ biến thiên áp suất cực đại.

Đầu hở của cột khí tương ứng với một bụng của sóng chuyển dời và cũng là một nút của sóng áp suất. Ta có thể hiểu tại sao không có sự biến thiên áp suất tại miệng ống nếu lưu ý được rằng: đây là vị trí tiếp giáp với khí quyển, nơi có áp suất ổn định và có trị số chính bằng áp suất khí quyển.

Có thể bạn sẽ thắc mắc làm thế nào mà sóng âm lại có thể phản xạ được trên một đầu hở như miệng ống, bởi không có sự thay đổi đặc biệt nào của môi trường truyền sóng: cả hai phía của miệng ống đều là không khí! Sóng âm được hiểu như sự lan truyền của biến thiên áp suất, tuy nhiên những vùng có thể giãn-nén chỉ bị giới hạn giữa hai đầu ống. Khi vùng giãn-nén kết thúc ở đầu hở của ống, sự ràng buộc của thành ống tạo nên sự co giãn của khí bị loại bỏ: khí trở nên tự do trong bầu khí quyển. Vì thế, có sự thay đổi về đặc tính của môi trường truyền sóng khi đi từ trong ống ra ngoài ống, mặc dù không có sự thay đổi nào về vật liệu cấu thành môi trường. Sự thay đổi về đặc tính này đủ để cho phép phản xạ sóng xảy ra.

Xét đến điều kiện biên của nút và bụng ở mỗi đầu cột khí, ta có được các mode dao động riêng như trường hợp sơi dây cố định hai đầu, trong đó tần số dao động cũng bị lượng tử hoá.

Ba mode dao động riêng đầu tiên của một ống hở cả hai đầu được mô tả trên hình 18.13a. Để ý rằng cả hai đầu ống đều là bụng sóng chuyển dời. Ở mode dao động đầu tiên, sóng dừng trải ra giữa hai bụng sóng liên tiếp cách nhau nửa bước sóng. Suy ra bước sóng bằng hai lần chiều dài ống và tần số cơ bản \(f_1=v/2L\). Như hình 18.13a chỉ rõ, tần số của các mode dao động bậc cao hơn bằng \(2f_1,3f_1,\ldots\)

Trong ống hở hai đầu, các tần số dao động riêng hình thành chuỗi các hoạ âm, có tần số là bội nguyên của hoạ âm cơ bản.

Ta có thể viết biểu thức tính tần số một cách tổng quát:

\begin{equation}
f_n=n\frac{v}{2L}\qquad n=1,2,3,\ldots
\label{eq:18.8}
\end{equation}

Mặc dù có sự tương đồng giữa (18.5) và \(\eqref{eq:18.8}\), cần nhớ rằng \(v\) trong phương trình (18.5) là vận tốc truyền sóng trên sợi dây, trong khi đó \(v\) trong \(\eqref{eq:18.8}\) là vận tốc truyền âm trong không khí.

Nếu ống bịt một đầu còn để hở một đầu, đầu bịt kín sẽ là một nút của sóng chuyển dời (hình 18.13b). Trường hợp này, sóng dừng tương ứng với mode dao động cơ bản kéo dài đúng \(1/4\) bước sóng, từ một bụng đến một nút. Do đó mode dao động riêng bậc nhất có bước sóng bằng \(4L\) và tần số cơ bản \(f_1=v/4L\). Như hình 18.13b đã chỉ ra, những tần số bậc cao luôn đảm bảo điều kiện biên rằng, bụng sóng nằm ở đầu hở và nút sóng phải nằm bên đầu kín. Những hoạ âm bậc cao có tần số lần lượt bằng \(3f_1,5f_1,\ldots\)

Trong ống bịt kín một đầu, các mode dao động riêng tạo thành một chuỗi các hoạ âm với tần số là bội nguyên lẻ của tần số cơ bản.

Ta biểu diễn kết quả này dưới dạng công thức toán học:

\begin{equation}
f_n=n\frac{v}{4L}\qquad n=1,3,5,\ldots
\label{eq:18.9}
\end{equation}

Sẽ thật thú vị khi tìm hiểu xem điều gì xảy ra với tần số của nhạc cụ dây và nhạc cụ dựa trên nguyên lý cột khí trong một buổi hoà nhạc, khi nhiệt độ tăng lên? Âm thanh từ sáo sẽ trở nên bay bổng hơn do vận tốc truyền âm của khí trong ống sáo tăng lên (xem phương trình \(\eqref{eq:18.8}\)). Âm thanh chơi bởi violon lại trầm xuống (suy giảm tần số) khi dây đàn giãn nở vì nhiệt, kéo theo lực căng giảm (xem phương trình (18.6)).

Các nhạc cụ hoạt động theo nguyên lý cột khí đều tạo âm thông qua hiện tượng cộng hưởng. Cột khí ban đầu chưa sóng âm ở vô vàn tần số khác nhau, ta gọi là âm kích thích. Tuy nhiên cột khí chỉ có phản ứng rõ rệt với một vài dao động biên độ lớn, có tần số khớp với một trong số các hoạ âm định trước. Trong nhiều nhạc cụ bộ gỗ, âm kích thích được đưa vào ống qua lưỡi gà. Ở nhạc cụ bộ đồng, sự kích thích hực hiển bởi luồng thổi hơi từ người chơi. Với sáo, âm kích thích đến từ luồng hơi thổi ngang qua một miệng lỗ gần đầu ống, giống như khi ta thổi hơi lên miệng chai huýt gió. Sóng âm của luồng hơi thổi qua miệng chai cũng mang rất nhiều tần số khác nhau, nhưng một trong số đó kích thích khí trong chai tham gia cộng hưởng.

Câu hỏi nhanh 18.4: Một ống hở hai đầu có khả năng cộng hưởng với tần số cơ bản \(f_{open}\). Khi bịt một đầu, ống lại cộng hưởng với một tần số cơ bản khác \(f_{closed}\). Hai tần số này liên hệ với nhau như thế nào?

(a) \(f_{closed}=f_{open}\)
(b) \(f_{closed}=\dfrac{1}{2}f_{open}\)
(c) \(f_{closed}=2f_{open}\)
(d) \(f_{closed}=\dfrac{3}{2}f_{open}\)

Câu hỏi nhanh 18.5: Công viên Balboa ở San Diego có một cây đại phong cầm, cấu tạo từ nhiều ống khí. Khi nhiệt độ không khí tăng lên, tần số cơ bản của mỗi ống khí:

(a) Giữ nguyên
(b) Hạ xuống
(c) Tăng lên
(d) Không thể xác định