Hệ thức Vi-et, Ứng dụng những dạng toán liên quan và Bài tập – Toán lớp 9 – c3kienthuyhp.edu.vn

Hệ thức Vi-et, Ứng dụng các dạng toán liên quan và Bài tập. Phần kiến ​​thức về phương trình bậc hai, hệ thức Viet được ứng dụng trong nhiều dạng toán, bài tập. Đây cũng là nội dung thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.

Vậy hệ thức Việt được ứng dụng vào những dạng bài toán nào? Hãy cùng tìm hiểu qua bài viết này. Đồng thời vận dụng công thức tiếng Việt để giải một số bài toán có liên quan, qua đó rèn luyện kỹ năng giải toán cho các em.

I. kiến ​​thức về phương trình bậc hai một ẩn và các quan hệ tiếng việt cần nhớ

1. Phương trình bậc hai một ẩn số

i) Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0, với x là ẩn số; a, b, c là các số đã cho gọi là hệ số và a ≠ 0 .

ii) Công thức giải phương trình bậc hai

– Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b2 – 4ac:

• nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

• nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

• nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

2. Hệ thống tiếng Việt

• Để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm tại thời điểm đó:

Đặt: Tổng các nghiệm là:

Tích lũy là:

• Định lý VI-ÉT: nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

• Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0, (Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0) .

* Lưu ý: Giải phương trình bằng tư duy:

• nếu nhẩm được: x1 + x2 = m + n; x1x2 = mn thì phương trình có nghiệm x1 = m; x2 = n.

– nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm:

– nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm:

* Nhận xét: Tương tự ta thấy hệ thức Viet liên hệ chặt chẽ nghiệm của một phương trình bậc hai với các hệ số a, b, c của nó.

II. Ứng dụng hệ thức của Viet trong giải toán có liên quan.

1. Động não giải phương trình bậc hai một ẩn số

* Ví dụ: Giải các phương trình sau (bằng cách nhẩm).

a) 3×2 – 8x + 5 = 0

b) 2×2 + 9x + 7 = 0

c) x2 + x – 6 = 0

° Giải pháp:

a) 3×2 – 8x + 5 =0 (1)

– Ta thấy pt(1) có dạng a + b + c = 0 nên theo Vietet pt(1) có nghiệm:

b) 2×2 + 9x + 7 = 0 (2)

– Ta thấy pt(2) có dạng a – b + c = 0 nên theo Vietet, pt(1) có nghiệm:

c) x2 + x – 6 = 0

– Ta có: x1 + x2 = (-b/a) = -1 và x1.x2 = (c/a) = -6 từ hệ này suy ra các nghiệm: x1 = 2 và x2 = -3.

2. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2

* Ví dụ 1: Cho x1 = 3; x2 = -2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm này.

° Giải pháp:

Theo công thức của Việt ta có: nên x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai có dạng:

x2 – Sx + P x2 – x – 6 = 0

* Ví dụ 2: Cho x1 = 3; x2 = 2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm này.

° Giải pháp:

Theo công thức của Việt ta có: nên x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai có dạng:

x2 – Sx + P x2 – 5x + 6 = 0

3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

– nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0).

* Ví dụ 1: Tìm hai số a, b có tổng S = a + b = 1 và ab = -6

° Giải pháp:

– Vì a + b = 1 và ab = -6 nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2–x–6 = 0.

– Giải phương trình này ta được x1 = 3 và x2 = -2.

* Ví dụ 2: Tìm hai số a, b có tổng S = a + b = -3 và ab = -4

– Vì a + b = -3 và ab = -4 nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0.

– Giải phương trình này ta được x1 = 1 và x2 = -4.

4. Tính giá trị của biểu thức nghiệm phương trình bậc hai

– Đối với bài toán này ta cần biến đổi các nghiệm đã cho thành biểu thức chứa Tổng nghiệm S và Tích P để áp dụng hệ thức Viet và tính giá trị của biểu thức này.

* Ví dụ: Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: . Không giải phương trình, hãy tính các giá trị của biểu thức sau:

° Giải pháp:

– Chúng ta có:

5. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình để nghiệm này độc lập (không phụ thuộc) vào tham số

• Để giải quyết vấn đề này ta làm như sau:

– Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2

– Sử dụng hệ thức Viet ta tính được S = x1 + x2 và P = x1x2 theo tham số

– dùng phép biến hình để tính các tham số theo x1, x2, từ đó suy ra hệ thức giữa x1 và x2.

* Ví dụ: Cho x1, x2 là nghiệm của phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0. Chứng minh rằng biểu thức A = 3(x1 + x2) + 2x1x2 – 8 không phụ thuộc vào m .

° Giải pháp:

– Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì:

Theo công thức của Việt ta có:

– Thay vào biểu thức A ta được:

⇒ A = 0 với mọi m ≠ 1 và m ≥ 4/5.

– Kết luận: A không phụ thuộc vào m.

III. Một số bài tập áp dụng hệ thống của Vietin

* Bài 1: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm

a) x2 + 9x + 8 = 0

b)

c)

* Bài 2: Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: 3×2 + 5x – 6 = 0. Nếu không giải hãy lập phương trình bậc hai đối với y có hai nghiệm y1, y2 thỏa mãn: y1 = 2×1 – x2 và y2 = 2×2 – x1.

* Bài 3: Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – 3x – 7 = 0. Không giải phương trình để tính giá trị của các biểu thức sau:

Tương tự như vậy, hy vọng với nội dung phần Bài tập về quan hệ tiếng Việt và ứng dụng vào bài toán liên quan trên đây sẽ giúp các em hiểu rõ hơn và có thể giải dạng bài toán này một cách dễ dàng hơn.

Thực tế, nội dung này còn bao gồm các bài tập vận dụng như lập luận tìm nghiệm, tính tổng nghiệm của phương trình chứa tham số. Chắc trường THPT Kiến Thụy sẽ chia sẻ với các bạn trong những bài viết tiếp theo, chúc các bạn học tốt.

Hi vọng với bài viết Hệ Vietine Ứng dụng các dạng toán liên quan và Bài tập trên sẽ hữu ích cho các bạn. Mọi góp ý và thắc mắc các bạn vui lòng để lại bình luận bên dưới bài viết để trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong ghi nhận và hỗ trợ, chúc các bạn học tập tốt.

Bản quyền bài viết thuộc về THPT Sóc Trăng.Edu.Vn. Mọi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: c3kienthuyhp.edu.vn

Bạn thấy bài viết Hệ thức Vi-et, Ứng dụng những dạng toán liên quan và Bài tập – Toán lớp 9 có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Hệ thức Vi-et, Ứng dụng những dạng toán liên quan và Bài tập – Toán lớp 9 bên dưới để Trường THPT Kiến Thụy có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: c3kienthuyhp.edu.vn của Trường THPT Kiến Thụy

Nhớ để nguồn bài viết này: Hệ thức Vi-et, Ứng dụng những dạng toán liên quan và Bài tập – Toán lớp 9 của website c3kienthuyhp.edu.vn

Chuyên mục: Văn học