Luận văn: Hệ thức vi-ét trong chương trình toán, HAY, 9đ

VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Hoàng Trung Kiên
HỆ THỨC VI-ÉT
TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Hoàng Trung Kiên
HỆ THỨC VI-ÉT
TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học Toán
Mã số: 60 14 10
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Chí Thành
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Chí Thành,
người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình làm luận văn
dù không thuận tiện về mặt địa lý.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp
những thắc mắc, đóng góp nhiều ý kiến chân thành và xác đáng, giúp chúng tôi có
những cảm nhận và tiếp thu một cách tốt nhất về chuyên ngành Didactic Toán.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn :
• Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN – SĐH, ban chủ nhiệm và
giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh đã tạo thuận lợi
cho chúng tôi trong suốt khoá học vừa qua.
• Ban giám hiệu và các giáo viên các trường THPT Nguyễn Hữu Tiến
(TP.HCM), trường THCS Bình Quới Tây (TP.HCM) đã hỗ trợ tôi thực hiện các
thực nghiệm đối với học sinh.
Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn sát cánh cùng tôi
trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng, tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến những
người thân yêu trong gia đình tôi, những bạn bè tâm giao của tôi. Họ, những người
đã luôn ở bên tôi mọi lúc và chính là động lực để tôi hoàn tất tốt luận văn.
Hoàng Trung Kiên

CHỮ VIẾT TẮT
CCGD : cải cách giáo dục
GV : giáo viên
HS : học sinh
MTBT : máy tính bỏ túi
SGK : sách giáo khoa
SBT : sách bài tập
SGV : sách giáo viên
TCTH : tổ chức toán học
THCS : trung học cơ sở
THPT : trung học phổ thông

bìa
Lời cảm ơn
Danh mục các chữ viết tắt
MỞ ĐẦU ……………………………………………………………………………………………………..1
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát …………………………………………….1
2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu ………………………………..2
3. Phương pháp nghiên cứu………………………………………………………………………….3
4. Cấu trúc của luận văn ………………………………………………………………………………4
Chương 1: Phân tích thể chế dạy học ở bậc đại học đối với định lí Vi-ét…………6
1.1. Định lý Vi-ét trong giáo trình [a] ……………………………………………………………6
1.2. Định lí Vi-ét trong giáo trình [b]…………………………………………………………..13
Kết luận chương 1 …………………………………………………………………………………….18
Chương 2: Phân tích thể chế dạy học ở bậc phổ thông đối với định lí Vi-ét…..20
2.1. Phân tích SGK, SBT Toán 9 ………………………………………………………………..21
2.2. Phân tích SGK, SBT nâng cao Toán 10…………………………………………………34
2.3. Phân tích SGK 11, 12 nâng cao…………………………………………………………….48
Chương 3: Điều kiện sinh thái của hệ thức Vi-ét………………………………………….53
3.1. Trong chương trình toán THCS ……………………………………………………………53
3.2. Trong chương trình toán THPT…………………………………………………………….57
Kết luận chương 3 …………………………………………………………………………………….60
Chương 4: Thực nghiệm……………………………………………………………………………..62
4.1. LỚP 9………………………………………………………………………………………………..62
4.1.1. Mục đích thực nghiệm…………………………………………………………………..62
4.1.2. Tổ chức thực nghiệm…………………………………………………………………….62
4.1.3. Phân tích tiên nghiệm ……………………………………………………………………63
4.1.4. Phân tích hậu nghiệm…………………………………………………………………….70
4.2. LỚP 10………………………………………………………………………………………………77
4.2.1. Mục đích thực nghiệm…………………………………………………………………..77
4.2.2. Tổ chức thực nghiệm…………………………………………………………………….77
4.2.3. Phân tích tiên nghiệm ……………………………………………………………………77
4.2.4. Phân tích hậu nghiệm…………………………………………………………………….78
4.3. LỚP 12………………………………………………………………………………………………85
4.3.1. Mục đích thực nghiệm…………………………………………………………………..82
4.3.2. Hình thức thực nghiệm ………………………………………………………………….82
4.3.3. Phân tích tiên nghiệm ……………………………………………………………………82
4.3.4. Phân tích hậu nghiệm…………………………………………………………………….85
KẾT LUẬN………………………………………………………………………………………………..91
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC

ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Phương trình và hệ phương trình là hai trong số những kiến thức đại số
cơ bản nhất của toán học ở trường phổ thông. Khái niệm về phương trình đã
được đưa vào chương trình toán phổ thông từ rất sớm. Ở bậc tiểu học các em
đã được tiếp xúc với phương trình bậc nhất một ẩn thông qua bài toán “tìm
x”, phương trình được chính thức giới thiệu trong SGK Toán 8. Trong các kì
thi tuyển sinh lớp 10 và tuyển sinh đại học, việc nắm vững kiến thức cũng
như công cụ để giải các bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương
trình là không thể thiếu nếu như muốn đạt kết quả cao. Một trong những
công cụ mạnh mẽ và hữu ích đó chính là “hệ thức Vi-ét”.
Hệ thức Vi-ét được trình bày ở SGK Toán 9 tập 2 sau khi học sinh đã
học xong hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và phương trình bậc hai. Qua ứng
dụng của hệ thức Vi-ét học sinh có thể giải quyết được các bài toán liên quan
đến tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc 2, một dạng toán luôn nằm
trong đề thi tuyển sinh 10 cũng như tuyển sinh vào lớp 10 chuyên trên khắp
cả nước trong nhiều năm qua. Tuy nhiên, ứng dụng của nó vào việc giải hệ
phương trình ở cấp học này còn mờ nhạt. Ở lớp 10, định lý Vi-ét được trình
bày ngắn gọn với mục đích ôn lại cho học sinh nhưng đến năm học 2011-
2012 thì nó được nằm trong phần giảm tải của Bộ giáo dục đào tạo với mục
tiêu “cắt giảm các nội dung trùng lặp”.
Vậy để tìm hiểu sự tồn tại của hệ thức Vi-ét trong chương trình toán phổ
thông hiện nay, những câu hỏi sau đây cần thiết được giải đáp:
Những ứng dụng của hệ thức Vi-ét đã xuất hiện, tồn tại và tiến triển như
thế nào trong các SGK? Chúng có thực sự được khai thác hết trong chương
trình toán phổ thông hiện hành? Liệu học sinh có thực sự hiểu và nắm rõ
công cụ giải toán mạnh mẽ này?
Trong nội dung thi tuyển sinh lớp 10 thì việc sử dụng hệ thức Vi-ét luôn
được đề cập, điều đó nói lên tầm quan trọng của nó ở cấp học này. Hệ thức

dụng được trình bày trong SGK lớp 9 là một bài học, nhưng lên
lớp 10 thì chỉ được đề cập dưới dạng một mục nhỏ trong bài 2 “Phương trình
quy về phương trình bậc nhất, bậc hai”, sau đó không còn xuất hiện nữa và
hiện nay đã được giảm tải, theo văn bản của Bộ giáo dục thì phần “I. Ôn tập
về phương trình bậc nhất, bậc hai” trong bài 2 là không dạy. Vậy phải chăng
ứng dụng của nó không còn thích hợp nữa hoặc quá ít môi trường để sử
dụng. Một cách hệ thống hơn, chúng tôi thấy cần thiết phải đặt ra những câu
hỏi sau:
– Ở cấp độ tri thức khoa học, hệ thức Vi-ét và ứng dụng được trình bày
như thế nào? Có sự khác biệt nào với sự trình bày tri thức này ở trường
phổ thông? Tại sao lại có sự khác biệt này?
– Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, chúng xuất hiện như thế nào? Chúng
được trình bày để giải quyết những bài toán gì?
– Có sự tương đồng và khác biệt nào về ứng dụng của hệ thức Vi-ét giữa 2
cấp học (THCS và THPT)?
– Tại sao hệ thức Vi-ét xuất hiện lại ở chương trình toán THPT? Có gì
mới mà SGK ở cấp học này muốn giới thiệu? Những sai lầm mắc phải
của học sinh ở THCS có còn xuất hiện? Tương lai của hệ thức Vi-ét
trong chương trình toán phổ thông ở nước ta?
2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm cách trả lời cho các câu hỏi
được nêu ra ở trên. Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi sẽ vận dụng những
yếu tố công cụ của Didactic Toán: hợp đồng didactic, lý thuyết nhân chủng
học và cách tiếp cận sinh thái học. Cụ thể đó là các khái niệm của lý thuyết
nhân chủng học: chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân với
đối tượng tri thức, quy tắc hành động, tổ chức toán học và quan hệ dinh
dưỡng theo cách tiếp cận sinh thái. Bằng những công cụ của các lý thuyết
này, chúng tôi sẽ rút ra được các quy tắc của hợp đồng didactic trong thực tế

ra chúng tôi sẽ sử dụng cách tiếp cận sinh thái học để nghiên
cứu sức sống của tri thức trong thể chế dạy học ở trường phổ thông hiện nay.
Trong phạm vi lý thuyết nêu trên, chúng tôi xin trình bày lại các câu hỏi
nghiên cứu của mình như sau:
CH1: Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, mối quan hệ thể chế gắn với hệ
thức Vi-ét có những đặc trưng gì? Vai trò và chức năng của chúng ra sao?
CH2: Mối quan hệ thể chế thể chế với hệ thức Vi-ét đã được xây dựng và
tiến triển như thế nào trong chương trình toán phổ thông? Có sự chuyển
hóa didactic nào gắn với tri thức này?
CH3: Có sự tương đồng và khác biệt nào giữa 2 mối quan hệ thể chế với
hệ thức Vi-ét và ở cấp THCS và THPT? Tại sao lại có sự khác biệt này?
Đặc trưng của các TCTH liên quan đến hệ thức này ở từng cấp học? Có sự
ràng buộc nào gắn với các TCTH này?
CH4: Hệ thức Vi-ét có thể tồn tại lâu trong thể chế dạy học hiện nay ở
Việt Nam? Sự tồn tại của nó gắn liền với những điều kiện ràng buộc nào?
3. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi xác định phương
pháp nghiên cứu được minh họa bằng sơ đồ sau:
Nghiên cứu tri thức khoa học
Thể chế dạy học Toán ở bậc đại học
Nghiên cứu tri thức cần giảng dạy
Thể chế dạy học Toán ở trường phổ thông
Nghiên cứu thực nghiệm
Quan hệ cá nhân của học sinh

sơ đồ phương pháp nghiên cứu, cụ thể chúng tôi sẽ làm các công
việc sau:
– Trước tiên chúng tôi sẽ phân tích các giáo trình ở bậc đại học để nghiên
cứu hệ thức Vi-ét ở cấp độ tri thức khoa học. Qua sự phân tích này,
chúng ta sẽ thấy được sự chuyển hóa sư phạm liên quan đến tri thức.
– Sau đó, chúng tôi sẽ phân tích các sách giáo khoa, sách bài tập ở cấp
THCS (lớp 9) và cấp THPT (lớp 10, 11, 12) song song với việc tham
khảo sách giáo viên. Cụ thể sẽ phân tích các TCTH liên quan đến hệ
thức này để thấy được sự tiến triển cũng như ứng dụng của nó qua từng
cấp học. Ngoài ra chúng tôi sẽ tham khảo thêm “Tài liệu bồi dưỡng
thường xuyên cho giáo viên” để hiểu thêm về sự ràng buộc của thể chế
gắn liền với tri thức. Qua đó chúng ta sẽ thấy được “quan hệ dinh
dưỡng” của tri thức trong thể chế dạy học hiện nay.
– Những kết quả nghiên cứu ở trên có thể giúp ta rút ra các giả thuyết
nghiên cứu cũng như một số hợp đồng dạy học ngầm ẩn giữa giáo viên
và học sinh mà chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng.
4. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 4 chương
– Phần mở đầu gồm một số ghi nhận ban đầu và những câu hỏi xuất phát dẫn
đến việc chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu,
phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn.
– Trong chương 1 chúng tôi sẽ nghiên cứu sự trình bày hệ thức Vi-ét và ứng
dụng của nó ở cấp độ tri thức khoa học qua việc nghiên cứu các giáo trình
đại học.
– Mở đầu chương 2 là sự phân tích SGK Toán 9, cụ thể là các TCTH liên
quan đến hệ thức Vi-ét. Tiếp đến sẽ phân tích SGK Toán 10 nâng cao để thấy
được sự tiến triển và khác biệt so với cấp THCS. Qua đó giúp ta nắm được
đặc trưng của 2 mối quan hệ thể chế đối với hệ thức này ở từng bậc học. Sau

sẽ phân tích SGK Toán 11, 12 nâng cao để tìm hiểu quan hệ
dinh dưỡng của hệ thức Vi-ét.
– Chương 3 được đúc kết từ những kết quả của chương 2 kèm thêm những
phân tích chương trình trong SGK Toán 9, 10, 11, 12 để khảo sát “kênh dinh
dưỡng” của hệ thức Vi-ét.
– Chương 4 trình bày thực nghiệm với học sinh. Qua bộ câu hỏi thực nghiệm
sẽ kiểm chứng được hợp đồng didactic cũng như giả thuyết nghiên cứu đã
nêu ra ở chương 2, 3.
– Phần kết luận sẽ tóm tắt lại các kết quả nghiên cứu đạt được ở các chương
trước đồng thời đề cập đến những hướng mới có thể mở ra từ luận văn.
Trong nội dung trình bày luận văn, sử dụng từ “hệ thức” hoặc “công thức”
nhằm mục đích tránh sự trùng lặp làm câu văn lủng củng. “Hệ thức” và
“công thức” đều mang ý nghĩa giống nhau, “hệ thức” được sử dụng nhiều
hơn trong các sách giáo khoa Toán phổ thông ở Việt Nam hiện nay. Ngoài
ra, khi sử dụng “định lí Vi-ét” thay cho “công thức Vi-ét”, chúng tôi muốn
đề cập đến “điều kiện để sử dụng công thức Vi-ét: phương trình đã cho phải
có nghiệm” được trình bày một cách tường minh trong sách giáo khoa, từ đó
chúng tôi có thể rút ra được sự chuyển hóa sư phạm liên quan đến tri thức
này.

THỂ CHẾ VỚI ĐỊNH LÍ VI-ÉT Ở BẬC ĐẠI HỌC
Mục tiêu của chương
Chương này có mục tiêu làm rõ những đặc trưng của hệ thức Vi-ét và đặc biệt là
ứng dụng của nó ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể hơn, qua việc phân tích một số
giáo trình đại học chúng tôi sẽ cố gắng nghiên cứu để làm rõ nguồn gốc và tiến trình
mà công thức Vi-ét được đưa vào, vai trò và chức năng của chúng ở bậc học này.
Ở đây, chúng tôi chọn phân tích hai giáo trình sau:
-Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục. (ký hiệu là
[a]).
-Nguyễn Viết Đông, Trần Ngọc Hội (2005), Đại số đại cương, NXB Đại
học quốc gia TP Hồ Chí Minh. (ký hiệu là [b]).
Mục tiêu của việc lựa chọn hai giáo trình này là việc trình bày các vấn đề liên
quan đến hệ thức Vi-ét tương đối phong phú hơn các giáo trình khác và đây cũng là
hai giáo trình thường được nhiều trường đại học lựa chọn để sinh viên tham khảo.
Cụ thể, giáo trình [a] đặc biệt làm rõ những dẫn xuất của công thức Vi-ét, còn các
ứng dụng của nó thì được trình bày đầy đủ hơn ở giáo trình [b].
1.1. Định lý Vi-ét trong giáo trình [a]
Trong giáo trình này, định lý Vi-ét được đề cập chính thức ở chương V với nhan
đề “Vành chính và vành Ơclit”. Nhưng hình dáng của công thức Vi-ét và ứng dụng
của nó đã được trình bày ở chương trước, đó là chương IV “ Vành đa thức”.
Cụ thể trong bài 2 “Vành đa thức nhiều ẩn”, khái niệm đa thức đối xứng đã được
trình bày ở trang 116 như sau:
“ Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị. Trước hết ta hãy xét vành đa thức 2
ẩn A[x1,x2]. Trong vành này ta chú ý tới hai đa thức đặc biệt sau đây:
f(x1,x2)= x1 + x2 , g(x1,x2) = x1x2 ”.

thức Vi-ét đã phần nào được giới thiệu, đó là hai công thức: tổng
và tích. Trong phần này, giáo trình đã lưu ý chúng như là hai đa thức đặc biệt . Đa
thức đối xứng có thể được coi là yếu tố lý thuyết giải thích cho các kĩ thuật giải các
dạng toán liên quan đến định lí Vi-ét ở phổ thông.
Tiếp đến, giáo trình còn đề cập:
“Các đa thức sau đây
1 1 2
2 1 2 1 3 1
3 1 2 3 1 2 4 2 1
1 1 2 1 1 2 2 2 3
1 2
…
…
…
…
… … … …
…
σ
σ
σ
σ
σ
−
− −
− − −
= + + +
= + + +
= + + +
= + +
=
n
n n
n n n
n n n n n
n n
x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x
cũng là những đa thức đối xứng, gọi là các đa thức đối xứng cơ bản.”
Các đa thức đối xứng cơ bản này tổng quát hơn là hai đa thức đặc biệt mà giáo
trình đã chú ý ở phần trên, đó cũng chính là khái niệm liên quan trực tiếp đến việc
hình thành công thức Vi-ét tổng quát sau này.
Ngoài ra, trong phần ứng dụng được [a] nhắc tới sau đó thì hình bóng của hệ
thức Vi-ét đã rõ ràng hơn.
“ Tìm các số nguyên , ,α β γ sao cho
3 3 3
6
36
6
αβγ
α β γ
α β γ
=
+ + =
+ + =
Theo ví dụ trên ta có
3 3 3 3
( ) 3( )( )α β γ α β γ α β γ αβ αγ βγ+ + = + + − + + + +
Ta suy ra 11αβ αγ βγ+ + =
Mặt khác xét đa thức f(x) ∈ Ζ [x]
( ) ( )( )( )α β γ= − − −f x x x x
Giả sử a∈ Ζ , ta có
( ) ( )( )( )α β γ= − − −f a a a a

0 khi và chỉ khi một trong các thừa số , ,α β γ− − −a a a bằng 0, cho
nên các nghiệm của f(x) là , ,α β γ . Khai triển f(x) ta được
3 2
3 2
( ) ( ) ( )
6 11 6
α β γ αβ αγ βγ αβγ= − + + + + + −
= − + −
f x x x x
x x x
vì 6, 11, 6.α β γ αβ αγ βγ αβγ+ += + + = =
Đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0, do đó f(x) có một nghiệm là 1. Theo hệ
quả của định lí 4 trong (§1, 4), f(x) chia hết cho x -1. Chia f(x) cho x-1 ta được
2
( ) ( 1)( 5 6)= − − +f x x x x
Đa thức 2
5 6− +x x cho ta hai nghiệm là 2 và 3. Vậy các số nguyên , ,α β γ cần
tìm là 1, 2, 3. ”
Phần ứng dụng này chính là một trong những công cụ giải hệ phương trình nhờ
vào công thức Vi-ét mà yếu tố lý thuyết nền tảng chính là các đa thức đối xứng cơ
bản.
Ở chương V “ Vành chính và vành Ơclit”, công thức Vi-ét được trình bày trong
phần ứng dụng để nghiên cứu vành đa thức K[x] với K là một trường.
Cụ thể trong định lí 2 thì công thức đã xuất hiện như sau:
“ Định lí 2. Giả sử f(x) là một đa thức bậc n>1 của vành K[x], với K là một
trường. Thế thì f(x) có không quá n nghiệm trong K, các nghiệm có thể phân biệt có
thể trùng nhau.
…
Gọi 1 2, ,…,α α αn là n nghiệm của f(x) trong K, các nghiệm có thể phân biệt có
thể trùng nhau, và giả sử
(1) 1
0 1 1( ) …−
−= + + + +n n
n nf x c x c x c x c .
f(x) phải có dạng phân tích là
0 1 2( ) ( )( )…( ).α α α= − − − nf x c x x x
sau khi nhân các đa thức α− ix , i = 1, 2, …, n, ta được
(2) 1
0 1 2( ) [ ( … )α α α−
= − + + +n n
nf x c x x

3 1 1 2( … ) … ( 1) … ]α α α α α α α α α−
−+ + + + + + −n n
n n nx
So sánh (1) và (2) ta được công thức Vi-ét:
1
1 2
0
2
1 2 1 3 1
0
3
1 2 3 1 2 4 2 1
0
1 2
0
…
…
…
…
… ( 1)
α α α
α α α α α α
α α α α α α α α α
α α α
−
− −
+ + + =−
+ + + =
+ + + =−
= −
n
n n
n n n
n n
n
c
c
c
c
c
c
c
c
Ta nhận thấy rằng các vế trái của công thức trên chẳng qua là các đa thức đối
xứng cơ bản của các phần tử 1 2, ,…,α α αn (chương IV). ”
Như vậy công thức Vi-ét được rút ra sau khi so sánh 2 dạng phân tích của một
đa thức f(x) có không quá n nghiệm trong trường K. Trong phần trình bày ở định lí
2 này thì câu “ các nghiệm có thể phân biệt có thể trùng nhau” được lặp lại hai lần,
điều này có nghĩa là nếu f(x) có nghiệm bội cấp m (m>1) thì công thức Vi-ét vẫn
có thể được áp dụng.
Ngoài ra, trong định lí 2 có đề cập “f(x) là một đa thức bậc n>1 của vành K[x],
với K là một trường”. Do đó ta có thể hiểu công thức Vi-ét có tầm áp dụng rộng rãi
ở mọi trường số, bao gồm trường số thực R và cả trường số phức C.
Qua sự trình bày những yếu tố lí thuyết liên quan trực tiếp đến hệ thức Vi-ét
trong giáo trình [a], ta thấy công thức này được xuất hiện dưới dạng một công cụ,
nó được gắn liền với việc xét nghiệm của các đa thức f(x) thuộc vành K[x] với K là
một trường số bất kỳ. Chúng ta cũng có thể thấy được một yếu tố lý thuyết quan
trọng dẫn đến việc hình thành công thức này đó là các đa thức đối xứng cơ bản.
Để tìm hiểu xem ứng dụng của hệ thức Vi-ét rộng rãi đến đâu, chúng tôi sẽ tiến
hành phân tích các tổ chức toán học liên quan đến hệ thức này trong [a].

học liên quan đến hệ thức Vi-ét trong giáo trình [a]
Kiểu nhiệm vụ T1: “ Giải hệ phương trình đối xứng loại 1”
Theo chúng tôi, đây là kiểu nhiệm vụ trọng yếu liên quan đến việc sử dụng hệ
thức Vi-ét. Vì số lượng bài tập trong giáo trình [a] khá hạn chế nên chỉ có 1 bài tập
thuộc kiểu nhiệm vụ T1.
Bài 3 trang 129:
“ Giải hệ phương trình
3 3 3
4 4 4
3
27
113
+ + =−

+ + =−
 + + =
x y z
x y z
x y z
”
Kĩ thuật 11τ :
+ Biểu diễn các phương trình trong hệ qua các đa thức đối xứng cơ bản (x+y+z,
xy+xz+yz, xyz)
+ Tính giá trị của các đa thức đối xứng vừa tìm được
+ Xét đa thức f(a) nhận x, y, z làm nghiệm (f(a)=(a-x)(a-y)(a-z)).
+ Sử dụng công thức Vi-ét để thay các hệ số của khai triển f(a).
3 2
( ) ( ) ( )= − + + + + + −f a a x y z a xy xz yz a xyz
+ Phân tích thành nhân tử đa thức f(a) vừa tìm được, suy ra các giá trị x, y, z cần
tìm.
Để minh họa cho kĩ thuật 1τ , ta có thể giải hệ phương trình trên như sau:
3 3 3 3
4 4 4 4 2
2
2
( ) 3( )( ) 3
27 27 9( ) 3
3( )
( ) 4( ) ( )
2( ) 4( )
113 81 36( ) 2( ) 12
x y z x y z x y z xy xz yz xyz
xy xz yz xyz
xyz xy xz yz
x y z x y z x y z xy xz yz
xy xz yz x y z xyz
xy xz yz xy xz yz xyz
+ + = + + − + + + + +
− =− + + + +
=− + +
+ + = + + − + + + +
+ + + + + +
= − + + + + + −
Thay 3( )xyz xy xz yz=− + + ta được:
2
2( ) 32xy xz yz+ + =

4+ + =±xy xz yz và 12xyz = ±
Xét đa thức f(a)∈ K[a] :
f(a) = (a – x)(a – y)(a – z)
Nghiệm của phương trình f(a) = 0 là x, y, z. Khai triển f(a) ta được:
3 2
( ) ( ) ( )= − + + + + + −f a a x y z a xy xz yz a xyz
Thay 4+ + =±xy xz yz và 12xyz = ± , ta được :
3 2
( ) 3 4 12= + + +f a a a a hay 3 2
( ) 3 4 12= + − −f a a a a
Với 3 2
( ) 3 4 12= + + +f a a a a , phân tích thành nhân tử ta được:
( ) =f a ( ) ( 3)( 2 )( 2 )= + − +f a a a i a i
Với 3 2
( ) 3 4 12= + − −f a a a a , phân tích thành nhân tử ta được:
( ) ( 2)( 2)( 3)= − + +f a a a a
Vậy (x, y, z) cần tìm là:(2, -2, -3); (2, -3, -2); ( -2, 2, -3); (-2, -3, 2); (-3, 2, -2);
(-3, -2, 2); (-3, 2i, -2i); (-3, -2i, 2i); (-2i, -3, 2i); (-2i, 2i, -3); (2i, -2i, -3);(2i, -3, -2i).
Đây là một hệ phương trình tương đối phức tạp đối với học sinh phổ thông và
ngay cả với sinh viên đại học. Việc sử dụng hệ thức Vi-ét nhờ vào phương pháp tìm
giá trị của các đa thức đối xứng cơ bản đã giúp giải bài toán không quá khó khăn.
Ví dụ trên đã cho ta thấy được ứng dụng công cụ của công thức Vi-ét trong việc giải
hệ phương trình.
Công nghệ 1θ : công thức Vi-ét.
Kĩ thuật 12τ :
+ Đặt ẩn phụ: 1 2 3; ;σ σ σ+ += + + = =x y z xy xz yz xyz
+ Biểu thị các phương trình trong hệ đã cho thông qua các đa thức đối xứng cơ
bản 1 2 3, ,σ σ σ
+ Tính giá trị 1 2 3, ,σ σ σ
+ Xét đa thức f(a) nhận x, y, z làm nghiệm (f(a)=(a-x)(a-y)(a-z)).
+ Sử dụng công thức Vi-ét thay để thay các hệ số của khai triển f(a).
3 2
1 2 3( ) σ σ σ= − + −f a a a a

thành nhân tử đa thức f(a) vừa tìm được, suy ra các giá trị x, y, z cần
tìm.
Công nghệ 1θ : công thức Vi-ét.
Kĩ thuật 12τ này không khác kĩ thuật 11τ là mấy vì chúng dựa trên cùng một môi
trường công nghệ và lí thuyết giống nhau. Nhưng khi dùng kĩ thuật 12τ thì lời giải
được trình bày gọn gẽ hơn và tiết kiệm được thời gian hơn khi làm bài.
Kiểu nhiệm vụ T2: “ Chứng minh một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm”
Bài 9 trang 170:
“ Chứng minh :
2 2 2 3 2
1 2 2 3 1 3( ) ( ) ( ) 4 27− − − =− −x x x x x x p q
với 1 2 3, ,x x x là các nghiệm của phương trình
3
0+ + =x px q ”
Kĩ thuật 21τ :
Biến đổi vế trái thành vế phải:
+ Biến đổi đại số để biểu thị đa thức qua các đa thức đối xứng cơ bản
+ Sử dụng công thức Vi-ét, suy ra điều phải chứng minh.
Hoặc biến đổi vế phải thành vế trái:
+ Dùng công thức Vi-ét,
+ Biến đổi đại số, suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải bài tập minh họa cho kĩ thuật 21τ :
Ta có:
2 2 2
1 2 2 3 1 3
2
1 2 2 3 1 3
2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
=− − −
 = − − − 
= − − + − + + −
VT x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Do 1 2 3, ,x x x là các nghiệm của phương trình
3
0+ + =x px q
Nên

2 1 3 2 3
1 2 3
0+ + =

+ + =
 = −
x x x
x x x x x x p
x x x q
(*)
Thay (*) vào VT ta được:
3 2
4 27
( )
=− −
=
VT p q
VP đpcm
Công nghệ 1θ : công thức Vi-ét.
Nhận xét:
Ở giáo trình [a] này có hai kiểu nhiệm vụ liên quan trực tiếp đến công thức
Vi-ét là kiểu nhiệm vụ T1 “giải hệ phương trình đối xứng loại 1” và T2 “chứng
minh một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm”. Đặc trưng của hai kiểu nhiệm vụ trên là
các phương trình được cho đều là phương trình bậc 3, do đó mức độ phức tạp của
các bài tập chỉ tương đối. Mỗi kiểu nhiệm vụ chỉ có 1 bài tập nhưng qua đó chúng ta
không chỉ thấy được công cụ Vi-ét hữu ích thế nào trong việc giải hệ phương trình
bậc cao với số ẩn lớn hơn 2 mà còn mối quan hệ mật thiết giữa công thức này và lí
thuyết về các đa thức đối xứng cơ bản.
1.2. Định lí Vi-ét trong giáo trình [b]
Trong giáo trình [b], công thức Vi-ét xuất hiện ở chương III “ Vành đa thức”. Cụ
thể là ở bài 2 “ Nghiệm của đa thức”, công thức đã được đưa vào trang 97 như sau:
“ Cho đa thức f(x) ∈ K[x]
1 0( ) … , 0= + + + ≠n
n nf x a x a x a a
Giả sử f(x) có n nghiệm (kể cả số bội) là 1 2, ,…,α α α ∈n K . Khi đó ta có
1 2( ) ( )( )…( )α α α= − − −n nf x a x x x .
Khai triển vế phải và so sánh các hệ số của các lũy thừa giống nhau ta sẽ
được công thức sau gọi là công thức Vi-ét, chúng biểu thị các hệ số của đa thức
theo các nghiệm của nó:

2
1
2
1
1 …
( … ) ;
;
…
( 1) … ;
…
α
α α α α
α
α
α α
α
α
α α α
α
−
=
−
≤ < ≤
−
≤ < < < ≤
=− + + + =−
=
= −
∑
∑
∑ k
k
n
n
n i
in
n
i j
i j nn
kn k
i i i
i i i nn
0
1 2( 1) … .
α
α α α
α
= − n
n
n
”
Như vậy, ở [b] đã khẳng định rất rõ ràng rằng công thức Vi-ét được suy ra từ
việc so sánh các hệ số của các lũy thừa giống nhau của một đa thức f(x)∈ K[x] , K
là một trường bất kỳ. Việc trình bày công thức Vi-ét không khác lắm so với giáo
trình [a], riêng về sự xuất hiện của công thức này với lí thuyết các đa thức đối xứng
cơ bản thì thứ tự có thay đổi mà [b] đã trình bày sau đó:
“ Ta thấy rằng các vế phải của công thức Vi-ét không thay đổi nếu ta thực
hiện phép hoán vị bất kì trên các nghiệm 1 2, ,…,α α αn . Đó là những đa thức đối
xứng. Trong bài 7 chúng ta sẽ khảo sát các đa thức này. ”
Để hiểu rõ thêm chức năng của công thức Vi-ét trong [b], chúng ta cũng sẽ tiến
hành phân tích các tổ chức toán học có liên quan.
Tổ chức toán học liên quan đến hệ thức Vi-ét trong giáo trình [b]
Kiểu nhiệm vụ T1: “ Giải hệ phương trình đối xứng loại 1”
Trong giáo trình này, có 4 bài toán liên quan đến kiểu nhiệm vụ T1 đã có mặt ở
giáo trình [a].
Ví dụ: døk 3. 24a t r ang 128
“ Giải hệ phương trình sau:

1 1 5
6
x y z
x y z
x y z

 + + =

+ + =

 + + =

”
Ta cũng sẽ sử dụng kĩ thuật 11τ hoặc kĩ thuật 12τ để giải các bài toán liên quan
đến kiểu nhiệm vụ T1.
Kiểu nhiệm vụ T2 cũng xuất hiện ở giáo trình [b] với số lượng 1 bài. Ngoài ra ở
[b] còn có thêm kiểu nhiệm vụ tương tự T2 mà chúng tôi tạm gọi là kiểu nhiệm vụ
T2’ với số lượng bài tập là 5.
Kiểu nhiệm vụ T2’: “ Tính hệ thức liên quan giữa các nghiệm”
Ví dụ:
D øk 3. 22 t r ang 127
“a) Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình
3
2 3 0+ − =x x .
b) Tính
3 3 3 3 3 3
1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1+ + + + +x x x x x x x x x x x x
trong đó 1 2 3, ,x x x là các nghiệm của phương trình
3 2
4 1 0− − + =x x x .
c) Giả sử 1 2 3, ,x x x là các nghiệm của phương trình
3
0+ + =x px q
Tính
3 31 2 2 1
2 3 1 1 2 3
+ + + + +
x xx x x x
x x x x x x
Kĩ thuật 22τ :
+ Biểu thị các biểu thức cần tính thông qua các đa thức đối xứng cơ bản ( 1 2 3,x x x
1 2 2 3 1 3,+ +x x x x x x 1 2 3+ +x x x ).
+ Dùng công thức Vi-ét suy ra các giá trị cần tính.

3.22a minh họa cho kĩ thuật 22τ :
“ Gọi 1 2 3, ,x x x là 3 nghiệm của phương trình
3
2 3 0+ − =x x
Ta có:
3 3 3 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
1 2 3
( ) 3( )( )
3
+ + = + + − + + + +
+
x x x x x x x x x x x x x x x
x x x
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3
0
2
3
+ + =
+ + =
=
x x x
x x x x x x
x x x
Suy ra
3 3 3 3
1 2 3 0 3.0.2 3.3
9
+ + = − +
=
x x x
”
Công nghệ 1θ : công thức Vi-ét.
Kĩ thuật 22τ sử dụng khá hiệu quả cho những bài tập mà các hệ số của phương
trình được cho là những giá trị p, q … tượng trưng. Còn với những phương trình mà
các hệ số là các số cụ thể, ta có thể sử dụng kĩ thuật 23τ để giải quyết kiểu nhiệm vụ
T2’ này.
Kĩ thuật 23τ :
+ Giải phương trình được cho (bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng
máy tính bỏ túi…).
+ Thay giá trị của các nghiệm vừa tìm được vào biểu thức cần tính.
Lời giải bài 3.22a minh họa cho kĩ thuật 23τ :
“Nhận thấy tổng các hệ số của phương trình 3
2 3 0+ − =x x có tổng bằng 0.
Do đó phương trình sẽ có một nghiệm là 1. Khi đó
3 2
2 3 ( 1)( 3)+ − = − + +x x x x x

0+ + =x x có 2 nghiệm là
1 11.
2
− ± i
. Thay 1 1=x ,
2 3
1 11. 1 11.
,
2 2
− + − −
= =
i i
x x ta được:
3 3
3 3 3 3
1 2 3
1 11. 1 11.
1
2 2
1 8
9
   − + − −
+ + = + +   
   
= +
=
i i
x x x
Công nghệ 2θ : phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình bậc hai.
Trong lời giải trên chúng ta không thấy có sử dụng đến công thức Vi-ét, nhưng
có một nhận xét rất quan trọng đó là “ tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên
phương trình có một nghiệm là 1”. Nhận xét này cũng đã được nhắc tới ở [a], nó nói
lên một mối tương quan mật thiết giữa nghiệm và hệ số của một phương trình, đó
cũng chính là nguồn gốc của công thức Vi-ét mà [a] và [b] đã trình bày.
Ở kĩ thuật 23τ , ta sẽ giải một phương trình bằng phương pháp thuần túy (đưa về
phương trình tích) hoặc bằng máy tính bỏ túi (casio fx 570ES Plus). Nhưng khi sử
dụng kĩ thuật này có thể sẽ gặp một ít khó khăn trong việc tính toán đại số khi các
nghiệm của phương trình là một biểu thức phức tạp (chứa căn, nhiều số hạng, …).
Ở kiểu nhiệm vụ T2’ này có một bài tập với yêu cầu có thể hơi khác về lời văn
nhưng chúng tôi vẫn quy về cùng một kiểu nhiệm vụ, đó là bài 3.23 trang 128.
Bài 3.23 trang 128
“ Cho phương trình :
3 2
1 2 3 0+ + + =x a x a x a
Biểu thị các đa thức đối xứng sau đây qua các hệ số của phương trình đó.
2 2 2
1 2 3 2 3 1 3 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1
)( )( )( ).
)( )( )( ).
− − −
+ + + + + +
a x x x x x x x x x
b x x x x x x x x x x x x
”
Chúng ta có thể sử dụng kĩ thuật 21τ để giải bài toán trên.
Nhận xét:

có cả 2 nhiệm vụ là T1 và T2 của [a], ngoài ra còn có thêm T2’
nhưng cả ba kiểu nhiệm vụ kể trên đều không nằm ngoài đặc trưng mà ta đã nhắc
tới ở [a] là các phương trình được cho đều là phương trình bậc 3. Như vậy, ta có thể
coi đây là một ràng buộc ngầm ẩn của thể chế dạy học ở bậc đại học với tri thức
này. Qua các kiểu nhiệm vụ có mặt ở [b], ta lại thấy sức mạnh của công thức Vi-ét
trong việc giải quyết các dạng bài tập liên quan đến nghiệm của phương trình và hệ
phương trình, nhất là đối với trường hợp phương trình bậc cao (lớn hơn 2). Sự gắn
kết của các đa thức đối xứng cơ bản với hệ thức Vi-ét luôn được thể hiện qua việc
giải quyết các kiểu nhiệm vụ nêu trên.
Bảng 1.1. Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong [a], [b]
Kiểu nhiệm vụ
Số bài tập
[a] [b]
T1 2 4
T2 1 1
T2’ 0 3
Tổng 3 8
Kết luận chương 1
Trong chương 1, chúng tôi đã tiến hành phân tích đồng thời hai giáo trình ở bậc
đại học, sau đây là một số kết quả chính:
– Về sự xuất hiện của hệ thức Vi-ét:
Việc trình bày và cách thức xuất hiện hệ thức Vi-ét ở hai giáo trình [a] và [b] là
tương tự nhau. Công thức Vi-ét có mặt trong chương “Vành đa thức”, cụ thể là khi
xét đến bài “Vành đa thức nhiều ẩn” và nó được rút ra từ việc so sánh hệ số của các
lũy thừa giống nhau khi khai triển một đa thức f(x) ∈ K[x], K là một trường bất kỳ
và các nghiệm của f(x) có thể phân biệt có thể trùng nhau (nghiệm bội). Sự xuất

liên quan mật thiết đến việc nắm vững lí thuyết về các đa thức đối xứng
cơ bản. Dù thứ tự xuất hiện của hệ thức Vi-ét và các đa thức đối xứng cơ bản có
khác nhau ở giáo trình [a] và [b] nhưng việc phải nắm vững đồng thời hai kiến thức
này để giải các dạng toán liên quan đã được thể hiện rõ qua các kiểu nhiệm vụ.
– Vai trò “công cụ” của hệ thức Vi-ét:
Qua sự trình bày cũng như cách thức xuất hiện của công thức Vi-ét, ta thấy tri
thức này đóng vai trò là “công cụ” để giải quyết các kiểu nhiệm vụ có liên quan
(kiểu nhiệm vụ T1, T2, T2’). Qua các kiểu nhiệm vụ vừa nêu, tầm quan trọng đặc
biệt của công thức Vi-ét đã được khẳng định khi công cụ này được sử dụng trong
việc giải quyết các hệ thức liên quan giữa các nghiệm phương trình, cho thấy được
mối liên hệ đặc biệt giữa nghiệm và hệ số. Trong đó cũng nêu bật được vai trò lí
thuyết nền tảng của các đa thức đối xứng cơ bản.
Như vậy, các ứng dụng của công cụ Vi-ét có còn được sử dụng đầy đủ ở cấp học
thấp hơn (THPT và THCS)? Học sinh được tiếp cận với công thức Vi-ét như thế
nào qua sự trình bày ở SGK toán phổ thông? Có sự khác biệt gì giữa hai mối quan
hệ thể chế này? Chúng tôi sẽ tìm cách trả lời những câu hỏi này qua kết quả phân
tích thể chế ở chương 2.

THỂ CHẾ VỚI ĐỊNH LÍ VI-ÉT Ở BẬC PHỔ THÔNG
Mục tiêu của chương
Chương này có mục tiêu làm rõ những đặc trưng của hệ thức Vi-ét và đặc biệt là
ứng dụng của nó ở cấp độ tri thức phổ thông. Cụ thể hơn, qua việc phân tích sách
giáo khoa ở các khối lớp THCS và THPT, chúng tôi sẽ cố gắng nghiên cứu để làm
rõ nguồn gốc và tiến trình mà công thức Vi-ét được đưa vào, vai trò và chức năng
của chúng ở bậc học này. Qua đó so sánh được sự khác biệt của tri thức này ở phổ
thông và ở bậc đại học.
Ở đây, chúng tôi chọn phân tích hai bộ sách giáo khoa sau sau:
– Bộ sách thứ nhất:
+ Phan Đức Chính (tổng chủ biên) (2008), Sách giáo khoa Toán 9 Tập 2, Nxb
Giáo dục.
+ Phan Đức Chính (tổng chủ biên) (2008), Sách bài tập Toán 9 Tập 2, Nxb
Giáo dục.
– Bộ sách thứ hai:
+ Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2010), Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao,
Nxb Giáo dục.
+ Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) (2010), Sách bài tập Đại số 10 nâng cao, Nxb
Giáo dục.
+ Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2010), Đại số và giải tích 11 nâng cao, Nxb
giáo dục.
+ Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2010), Giải tích 12 nâng cao, Nxb giáo dục.
Bên cạnh hai bộ sách đã nêu, với từng bộ sách chúng tôi sẽ tham khảo thêm sách
giáo viên để làm cơ sở phân tích làm rõ mối quan hệ thể chế với tri thức này ở phổ
thông.

SGK, SBT Toán 9
Tài liệu phân tích:
+ Phan Đức Chính tổng chủ biên (2008), Sách giáo khoa Toán 9 Tập 2, Nxb
Giáo dục (sau đây được kí hiệu là SGK9).
+ Phan Đức Chính tổng chủ biên (2008), Sách bài tập Toán 9 Tập 2, Nxb
Giáo dục (sau đây được kí hiệu là SBT9).
Trong SGK9, công thức Vi-ét được đưa vào ở chương IV “Hàm số 2
=y ax (a≠0)
– Phương trình bậc hai một ẩn”. Cụ thể là sau khi học sinh đã học xong bài “Công
thức nghiệm của phương trình bậc hai” và “Công thức nghiệm thu gọn”
“Hệ thức Vi-ét và ứng dụng” là nhan đề bài 6 trong chương IV. Trước khi vào
nội dung bài học, SGK9 cũng đã hé lộ một phần nào đó nguồn gốc của công thức
này bởi một nhận xét bên dưới tựa đề là “Nghiệm và hệ số của phương trình có mối
liên quan kì diệu”.
Trong bài 6 này, công thức Vi-ét được rút ra một cách gián tiếp thông qua một
hoạt động nhỏ của học sinh:
“ ?1 Hãy tính 1 2 1 2,+x x x x ”
Trước khi làm ?1 này, SGK9 đã nhắc lại một kiến thức đã học ở bài trước như
sau:
“ Trước hết chú ý rằng, nếu phương trình bậc hai 2
0+ + =ax bx c có nghiệm thì
dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép, ta đều có thể viết các nghiệm đó
dưới dạng:
1 2,
2 2
− + ∆ − − ∆
= =
b b
x x
a a
”.
Sau hoạt động đầu bài học, công thức Vi-ét được chính thức xuất hiện dưới dạng
một định lí mà SGK9 gọi là “Định lí Vi-ét”:
“ Nếu 1 2,x x là hai nghiệm của phương trình 2
0+ + =ax bx c (a≠0) thì

=−

 =

b
x x
a
c
x x
a
”
Như vậy, công thức Vi-ét đã được học sinh rút ra từ một công thức nghiệm mà
học sinh đã học ở bài trước, đó là sử dụng biệt thức ∆ (delta) để biểu diễn nghiệm
của một phương trình bậc hai.
Công thức Vi-ét có mặt trong một định lí mà điều kiện đi kèm là phương trình
bậc hai có 2 nghiệm phân biệt hoặc nghiệm kép. Điều kiện này đã được nhắc tới
trong hoạt động ?1 của học sinh.
Tiếp đến, SGK đã giới thiệu hai kí hiệu đặc biệt cho tổng và tích hai nghiệm, đó
là S và P. SGK9 đã trình bày các kí hiệu này ở phần “ 2. Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng” :
“ Giả sử hai số cần tìm có tổng bằng S và tích bằng P. Gọi một số là x thì số kia
là S – x. Theo giả thiết ta có phương trình
x(S – x) = P hay 2
0.− + =x Sx P ”
Đây là một trong những ứng dụng quan trọng của hệ thức Vi-ét mà SGK lớp 9
muốn cung cấp cho học sinh. SGK9 đã kết luận như sau:
“ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương
trình
2
0.− + =x Sx P
Điều kiện để có hai số đó là 2
4 0.− ≥S P ”
Qua hai mục được trình bày trong SGK9, ta thấy hệ thức Vi-ét được đề cập dưới
dạng một công cụ giải toán về phương trình bậc hai cho học sinh. Cụ thể trong phần
áp dụng được SGK nhắc tới sau đó, ta thấy có 2 ứng dụng nổi bật sau:
– Tìm một nghiệm khi đã biết nghiệm còn lại.
– Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Ngoài 2 ứng dụng kể trên, một ứng dụng cũng không kém phần quan trọng đã
được SGV lớp 9 đề cập đó là “nhẩm nghiệm”. Đây chính là mục tiêu quan trọng ở

SGV đã lưu ý “cần yêu cầu HS vận dụng triệt để hệ thức Vi-ét để tính
nhẩm nghiệm của phương trình”. Ứng dụng này được giới thiệu đến học sinh thông
qua 2 hoạt động nhỏ là ?2 và ?3.
“ ?2 Cho phương trình 2
2 5 3 0.− + =x x
a)Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.
b)Chứng tỏ rằng 1 1=x là một nghiệm của phương trình.
c)Dùng định lí Vi-ét để tìm 2.x
…
?3 Cho phương trình 2
3 7 4 0.+ + =x x
a)Chỉ rõ các hệ số a, b, c của phương trình và tính a – b + c.
b)Chứng tỏ 1 1= −x là một nghiệm của phương trình.
c)Tìm nghiệm 2.x ”
Kết thúc từng hoạt động ?2, ?3 là một nhận xét được SGK9 đưa ra nhằm cung
cấp cho học sinh một công thức tổng quát khi cần tìm nghiệm trong trường hợp hệ
số của phương trình bậc hai thỏa mãn a + b + c = 0 hay a – b + c = 0.
“ Tổng quát
Nếu phương trình 2
0( 0)+ + = ≠ax bx c a có a + b + c =0 thì phương trình có
một nghiệm là 1 1,=x còn nghiệm kia là 2 .=
c
x
a
…
Nếu phương trình 2
0( 0)+ + = ≠ax bx c a có a – b + c =0 thì phương trình có
một nghiệm là 1 1,= −x còn nghiệm kia là 2 .= −
c
x
a
”
Như vậy, để học sinh nắm vững hệ thức Vi-ét cũng như ứng dụng “nhẩm
nghiệm” của nó thì hai kiến thức trên đều được rút ra từ những bài làm của chính
học sinh. Việc làm này sẽ giúp học sinh khắc sâu hơn những điều vừa học cũng như
phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo ở mỗi em.

tập 2 có lưu ý: “ Thực tế cho thấy nhiều HS sau khi tốt nghiệp trung
học cơ sở không biết sử dụng hoặc sử dụng kém công thức nghiệm trong trường
hợp có thể dùng ‘∆ , không biết dùng hệ thức Vi-ét, thậm chí, không nhẩm được
nghiệm trong trường hợp a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0. Đó là những điều rất
đáng khắc phục.” Nhận xét trên đã giải thích được ý đồ trình bày hệ thức Vi-ét và
ứng dụng của nó trong SGK.
Tổ chức toán học liên quan đến hệ thức Vi-ét trong SGK9, SBT9
Chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các kiểu nhiệm vụ có trong SGK9 và SBT9 để
làm rõ vai trò “công cụ” của hệ thức Vi-ét ở cấp học THCS.
Kiểu nhiệm vụ T1 “Giải hệ phương trình đối xứng loại 1” không xuất hiện một
cách tường minh mà dưới dạng một kiểu nhiệm vụ mà SGK9 đã trình bày ở mục 2,
đó là “tìm 2 số biết tổng và tích của chúng”. Chúng tôi gọi đây là kiểu nhiệm vụ
T1’, nó xuất hiện với số lượng là 12/46 bài.
Kiểu nhiệm vụ T1’: “Tìm 2 số biết tổng và tích”
Ví dụ: døk 61a/ 64 S G K 9
“ Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 12, uv = 28 và u > v;
Kĩ thuật 13τ :
+ Xác định phương trình bậc hai nhận 2 số đã cho làm nghiệm. ( 2
0− + =x Sx P ,
với 1 2 1 2,=+ =S x x P x x ). Điều kiện: 2
4≥S P.
+ Dùng biệt thức ∆ tìm 2 nghiệm của phương trình, suy ra 2 số cần tìm thỏa yêu
cầu đề bài.
Lời giải bài 61a/64 SGK minh họa cho kĩ thuật 13τ :
“ u và v là hai nghiệm của phương trình
2
12 28 0− + =x x
Ta có: ‘∆ = 36 – 28 =8. ‘ 2 2∆ = ;
1 6 2 2,= +x 2 6 2 2= −x .

2 6 2 2+ > − nên 6 2 2, 6 2 2=+ =−u v .”
Công nghệ 1θ : công thức Vi-ét.
Trong các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này, bài 32c/54 SGK9 trước khi sử dụng kĩ
thuật 13τ ta phải thực hiện một bước biến đổi quan trọng để đưa đề bài về dạng tổng
tích , từ đó có thể ứng dụng hệ thức Vi-ét.
“ Bài 32c/54 SGK9
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
…
c) u – v =5, uv = 24.
Giải
Đặt v’= -v. Khi đó ta có:
u +(-v) = u + v’ = 5.
-u.(-v)=-u.v’=24 => u.v’= -24.
u và v’ là hai nghiệm của phương trình
2
5 24 0− − =x x
1 28; 3.x x= = −
Suy ra :
8 3
3 8
= = − 
 
= = − 
u u
hay
v v
”
Kiểu nhiệm vụ T2’: “ Tính hệ thức liên quan giữa các nghiệm”
Đây là kiểu nhiệm vụ đã xuất hiện ở giáo trình [b], tuy nhiên các bài tập trong
SGK9 ở mức độ đơn giản, hầu như xoay quanh yêu cầu “tính tổng và tích các
nghiệm (nếu có) của phương trình” với số lượng 12/46 bài.
Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là:
– Các phương trình bậc hai được cho đa số là có nghiệm. (chỉ có 2 phương trình
được cho là vô nghiệm).
– Đi kèm với yêu cầu tính tổng và tích là việc xét điều kiện có nghiệm của
phương trình . (tính ∆ , tìm điều kiện của tham số m để phương trình có nghiệm).

30/ 54 S G K 9
“ Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm
theo m.
a) 2
2 0;− + =x x m b) 2 2
2( 1) 0.+ − + =x m x m ”
Kĩ thuật 24τ : sử dụng công thức Vi-ét 1 2 1 2;
−
+= =
b c
x x x x
a a
rồi suy ra giá trị cần
tính.
Công nghệ 1θ : công thức Vi-ét.
Lời giải bài 30/54a SGK9 minh họa cho kĩ thuật 24τ :
“a) 2
2 0− + =x x m
2
‘ ( 1) .1 1∆ = − − = −m m
Phương trình có nghiệm khi : 1 –m ≥ 0  m ≤ 1.
Khi đó:
1 2 1 22;+= =x x x x m .”
Tương tự như T1’, ở kiểu nhiệm vụ T2’ này cũng xuất hiện một số bài tập mà
trước khi sử dụng công thức Vi-ét, ta phải biểu thị chúng qua tổng 1 2+x x và tích
1 2x x .
Ví dụ: døk 62/ 64 S G K 9
“ Cho phương trình 2 2
7 2( 1) 0.+ − − =x m x m
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các
bình phương hai nghiệm của phương trình theo m.
Giải:
b) 2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) 2+ = + −x x x x x x
Ta có:
2
1 2 1 2
2(1 )
;
7 7
− −
+= =
m m
x x x x
Suy ra:

2
1 2
2(1 ) 18 8 4
2.
7 7 49
m m m m
x x
 − − − + 
+= − =     
”
Có 9/12 bài mà phương trình bậc hai được cho không chứa tham số. Trong số 9
bài này chỉ có 2 bài là phương trình vô nghiệm. Ở SBT9 có 1/5 bài phương trình
bậc hai không chứa tham số vô nghiệm. Có 4 bài tập ở SGK và SBT phương trình
có chứa tham số, trước khi sử dụng công thức Vi-ét đều có một yêu cầu đi kèm
trước đó là “tìm m để phương trình có nghiệm” nhưng học sinh thường không hiểu
được tại sao lại có yêu cầu này, chúng chỉ hiểu đây là hai yêu cầu khác nhau của bài
toán mà không nhận ra được việc phải kiểm tra điều kiện có nghiệm của định lí Vi-
ét trước khi sử dụng nó.
Kiểu nhiệm vụ T3: “Nhẩm nghiệm”
Đây là kiểu nhiệm vụ không có mặt trong [a] và [b]. “Nhẩm nghiệm” là một
trong những kĩ năng mà SGV muốn học sinh đạt được. Số lượng bài tập thuộc kiểu
nhiệm vụ này là 15/46 bài.
Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T3: có 2 dạng
– Nhẩm nghiệm trong trường hợp a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0. (chiếm đa số,
12/15 bài).
– Nhẩm nghiệm dựa vào công thức tổng tích 1 2 1 2;
−
+= =
b c
x x x x
a a
. (3/15 bài).
Ví dụ: døk 31/ 54 S G K 9
“Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a) 2
1,5 1,6 0,1 0;− + =x x b) 2
3 (1 3) 1 0;− − − =x x
…”
Kĩ thuật 3τ :
+ Trường hợp a + b + c = 0 thì 1 21;= =
c
x x
a
.
+ Trường hợp a – b + c = 0 thì 1 21;
−
=− =
c
x x
a
.

hợp còn lại, sử dụng công thức tổng 1 2
−
+ =
b
x x
a
và tích 1 2 =
c
x x
a
rồi sau đó nhẩm nghiệm.
Công nghệ 1θ : công thức Vi-ét.
Lời giải minh họa cho kĩ thuật 3τ :
“ Bài 27a/53 SGK9
Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.
a) 2
7 12 0;− + =x x
Giải
Vì 3 + 4 = 7; 3.4 = 12 nên 1 23, 4= =x x là hai nghiệm của phương trình đã
cho.”
Các bài tập “nhẩm nghiệm” dùng hệ thức Vi-ét như trên rất hạn chế do cách làm
mang tính “dự đoán”. Vì vậy ở 5 bài thuộc dạng này trong SGK9, phương trình bậc
hai được cho đều có hệ số là số nguyên.
Kiểu nhiệm vụ T4: “Biết một nghiệm, tính nghiệm còn lại”.
Số lượng bài tập thuộc T4 là 6/46 bài.
Ví dụ: døk 60a/ 64 S G K 9
“ Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm
kia:
a) 2
1
1
12 8 1 0;
2
− += =x x x ;”
Kĩ thuật 41τ : dùng công thức 1 2 1 2
−
+= =
b c
x x hay x x
a a
để suy ra nghiệm kia
Công nghệ 1θ : công thức Vi-ét.
Lời giải bài 60a/64 SGK9 minh họa cho kĩ thuật 41τ :
“a) 2
1
1
12 8 1 0;
2
− += =x x x .
Do 1 2
8 2
12 3
+ = =x x nên

=
=
Hoặc do 1 2
1
12
=x x nên
2
2
1 1
2 12
1
.
6
x
x
=
=
Ngoài kĩ thuật 41τ , ta còn có thể sử dụng một kĩ thuật khác mà SGK đã cung
cấp cho học sinh một cách không chính thức thông qua bài tập 33/54.
Bài 33/ 54 SGK9
“ Chứng tỏ rằng nếu phương trình 2
0+ + =ax bx c có nghiệm là 1x và 2x thì
tam thức 2
+ +ax bx c phân tích được thành nhân tử như sau:
2
1 2( )( ).+ + = − −ax bx c a x x x x ”
Bài tập trên thuộc kiểu nhiệm vụ T2 “chứng minh một hệ thức liên hệ giữa
các nghiệm” có trong [a]. Ngoài bài 33, SGK không có một bài tập nào thuộc kiểu
nhiệm vụ này. Lời giải có thể trình bày như sau:
“ Ta có:
1 2
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
( )( )
( )
( )
( )
= − −
= − − +
 = − + + 
= − + +
VP a x x x x
a x xx xx x x
a x x x x x x
ax a x x x ax x
Do phương trình 2
0+ + =ax bx c có nghiệm là 1x và 2x nên theo định lí Vi-ét
1 2 1 2;
−
+= =
b c
x x x x
a a
(*)
Thay (*) vào VP ta được:

+
= + +
=
b c
VP ax a x a
a a
ax bx c
VT đpcm
Sau khi giải xong bài tập 33 này, học sinh sẽ được cung cấp thêm một kĩ thuật
mới có thể giải quyết kiểu nhiệm vụ T4, ta gọi đây là kĩ thuật 42τ .
Kĩ thuật 42τ :
+ Phân tích phương trình đã cho thành nhân tử dựa vào 1 nghiệm cho trước.
+ Khai triển, so sánh hệ số của lũy thừa giống nhau để suy ra nghiệm còn lại.
Công nghệ 3θ : bài 33/54 SGK9.
Lời giải bài 60a/64 minh họa cho kĩ thuật 42τ :
“a) 2
1
1
12 8 1 0;
2
− += =x x x
Phương trình 2
12 8 1 0− + =x x có hệ số là 12, 1
1
2
=x nên tam thức 2
12 8 1− +x x có
dạng phân tích là:
2
1
12( )( )
2
− −x x x (*)
Khai triển (*) ta được: 2 2
2 2 2 2
1 1 1
12 ( ) 12 12( ) 6
2 2 2
 
− + + = − + +  
x x x x x x x x
So sánh hệ số của lũy thừa bậc nhất hoặc hệ số tự do ta được:
2
2
6 1
1
.
6
=
=
x
x
”
Kiểu nhiệm vụ T5: “Xác định phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện nghiệm
cho trước”
Đây là kiểu nhiệm vụ chỉ có trong SBT9 với số lượng 9/41 bài.
Kĩ thuật 51τ :
+ Dạng tổng quát của phương trình bậc hai là: 2
0( 0).+ + = ≠ax bx c a

các hệ số a, b, c :
– Chọn trước một giá trị cho một trong 3 hệ số a, b, c
– Sử dụng công thức 1 2 1 2,
−
+= =
b c
x x x x
a a
để tìm 2 hệ số còn lại.
Công nghệ 1θ : công thức Vi-ét.
Lời giải minh họa cho kĩ thuật 51τ :
Ví dụ: døk 42a/ 44 S B T 9
“Lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:
a) 3 và 5
…
Giải:
Gọi phương trình bậc hai cần tìm là: 2
0( 0).+ + = ≠ax bx c a
Cho a = 1. Do phương trình có hai nghiệm là 3 và 5 nên:
3 5
1
8
3.5
1
15
−
+ =
=> =−
=
=> =
b
b
c
c
Vậy phương trình cần tìm là: 2
8 15 0− + =x x .”
Ta cũng có thể sử dụng kết quả của bài tập 33/54 SGK9 để đưa ra một kĩ thuật
khác giải quyết kiểu nhiệm vụ T5 này.
Kĩ thuật 52τ :
+ Phương trình 2
0( 0)+ + = ≠ax bx c a có 2 nghiệm 1 2,x x nên:
2
1 2( )( )+ + = − −ax bx c a x x x x .
+ Chọn một giá trị bất kỳ cho hệ số a. Sau đó thay hai nghiệm đã cho vào ta suy ra
được phương trình cần tìm.
Công nghệ 3θ : bài 33/54 SGK9.
Lời giải bài 42a/44 SBT9 minh họa cho kĩ thuật 52τ :

0)+ + = ≠ax bx c a có 2 nghiệm 1 23, 5= =x x nên:
2
( 3)( 5)+ + = − −ax bx c a x x .
Chọn a = 1, ta có: 2
( 3)( 5) 8 15− − = − +x x x x .
Vậy 2
8 15 0− + =x x là phương trình cần tìm.”
Bảng 2.1. Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong SGK9, SBT9
Kiểu nhiệm vụ
Số bài tập
SGK SBT
T1’ 12 7
T2 1 0
T2’ 13 8
T3 15 11
T4 6 6
T5 0 9
Tổng 47 41
Kết luận
Công thức Vi-ét được cung cấp cho học sinh sau khi học sinh được học “công
thức nghiệm của phương trình bậc hai”. Công thức xuất hiện trong một định lí mà
SGK9 gọi là “định lí Vi-ét”. Định lí Vi-ét được phát biểu như sau:
“ Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2
+bx+c=0 (a≠0) thì
1 2
1 2
−
+ =

 =

b
x x
a
c
x x
a
”

với cả 2 giáo trình [a] và [b] thì ứng dụng của công thức Vi-ét đã bị
thu hẹp ở tam thức bậc hai trong chương trình toán phổ thông, trong khi công thức
này có thể áp dụng với một đa thức f(x) bậc n bất kỳ ở cấp bậc đại học. Ở [a] và [b]
không phát biểu thành “định lí Vi-ét” mà chỉ đưa ra công thức Vi-ét sau khi trình
bày một định lí đi kèm trước đó:
“Định lí 2. Giả sử f(x) là một đa thức bậc n > 1 của một vành K[x], với K là một
trường. Thế thì f(x) có không quá n nghiệm trong K, các nghiệm có thể phân biệt có
thể trùng nhau.”
Định lí trên cho phép ta sử dụng công thức Vi-ét với một đa thức bất kỳ ở bậc
đại học. Do đó không cần phải xét điều kiện có nghiệm của một tam thức bậc hai
trong “định lí Vi-ét” ở chương trình toán phổ thông vì các đa thức ở bậc học này ta
chỉ mới xét nghiệm trên trường số thực. Vì vậy trong [a] và [b] chỉ gọi là “công
thức Vi-ét” chứ không dùng “định lí Vi-ét”. Vậy những học sinh ở bậc THCS đã
hiểu kiến thức này như thế nào: định lí hay công thức?
Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ cho thấy có 3 kiểu nhiệm vụ chiếm ưu thế
ngang nhau, đó là T1’ “tìm hai số biết tổng và tích”, T2’ “tính hệ thức liên quan
giữa các nghiệm”, T3 “nhẩm nghiệm”. Ba kiểu nhiệm vụ này chiếm gần 85% tổng
số bài trong SGK. Điều này phù hợp với mục tiêu mà SGV đã nhắc tới ở trang 47
như sau:
“ – HS nắm vững hệ thức Vi-ét.
– HS vận dụng được những ứng dụng của hệ thức Vi-ét như:
 Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai trong các trường hợp a + b + c =0,
a – b + c =0, hoặc các trường hợp mà tổng và tích của hai nghiệm là những
số nguyên có giá trị tuyệt đối không quá lớn.
 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.”
Kiểu nhiệm vụ T3 “nhẩm nghiệm” thực chất là “giải phương trình bậc hai”.
“Nhẩm nghiệm” nhờ ứng dụng định lí Vi-ét là một phương pháp để giải phương
trình bậc hai chính xác và gọn gàng. Các bài tập thuộc T3 trong SGK đều có yêu
cầu “tính nhẩm nghiệm”, do vậy học sinh sẽ biết sử dụng ngay hệ thức Vi-ét mà

chính là một cách khác để giải phương trình bậc hai. Vì thế chúng
tôi rút ra được giả thuyết nghiên cứu sau:
GT1: “Công thức Vi-ét không được học sinh ưu tiên trong những trường hợp có
thể sử dụng: nhẩm nghiệm hoặc biện luận nghiệm của hệ phương trình”.
Các kiểu nhiệm vụ T2 “chứng minh hệ thức liên quan giữa các nghiệm” và T5
“xác định phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện nghiệm cho trước” xuất hiện với
số lượng hạn chế do mức độ khó cũng như lưu ý mà SGV trang 48 đưa ra:“Nội
dung có thể dài, vì thế cần chọn cách dạy đơn giản nhất để học sinh nắm được
những điều cơ bản nhất.”
Kiểu nhiệm vụ T1’ “tìm hai số biết tổng và tích” chính là dấu vết của kiểu nhiệm
vụ T1 “giải hệ phương trình đối xứng loại 1” trong [a]. Thực chất giải T1’ chính là
giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn nhưng các bài toán thuộc T1’ không được trình
bày dưới dạng này do học sinh chỉ mới được học cách giải hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn, đồng thời nhằm đến hướng học sinh triệt để ứng dụng hệ thức Vi-ét.
Các kiểu nhiệm vụ trong SGK9, SBT9 đơn thuần là yêu cầu học sinh tính toán
nhờ công thức Vi-ét. Tuy nhiên cũng có một số bài tập (bài 62/64 SGK9) học sinh
phải biết biến đổi về dạng tổng tích, việc làm này cho thấy ảnh hưởng quan trọng
một cách ngầm ẩn của các đa thức đối xứng cơ bản.
Như vậy, SGK đã không có một kiểu nhiệm vụ nào giúp học sinh nắm vững
định lí Vi-ét. Nghĩa là trước khi sử dụng hệ thức này, các em phải xét điều kiện có
nghiệm của phương trình bậc hai. Qua việc phân tích các kiểu nhiệm vụ, chúng tôi
dự đoán tồn tại một quy tắc hợp đồng ngầm ẩn ở HS:
HĐ: “Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương
trình bậc hai khi sử dụng công thức Vi-ét” tồn tại ngầm ẩn ở học sinh.
2.2. Phân tích SGK, SBT nâng cao Toán 10
Tài liệu phân tích:
+ Đoàn Quỳnh tổng chủ biên (2010), Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, Nxb
Giáo dục. (kí hiệu là SGK10)

Đoan chủ biên (2010), Sách bài tập Đại số 10 nâng cao, Nxb
Giáo dục. (kí hiệu là SBT10)
Chúng tôi không chọn bộ SGK Toán 10 cơ bản vì theo “Hướng dẫn thực hiện
việc điều chỉnh nội dung dạy học môn Toán cấp THPT” mà Bộ GDĐT gởi cho các
tỉnh vào tháng 8 năm 2011, với mục tiêu “cắt giảm những nội dung trùng lặp” thì
phần 3 “Định lí Vi-ét” (SGK Toán 10 cơ bản trang 58) được chỉ đạo “không dạy” vì
nội dung của phần này không có gì mới so với cấp dưới. Ở phần 3 “Hướng dẫn thực
hiện các nội dung” có ghi rõ: “Đối với các bài, các phần không dạy thì GV dùng
thời lượng của các bài, các phần này dành cho các bài, các phần khác hoặc sử
dụng để luyện tập, củng cố, hướng dẫn thực hành cho HS”. Như vậy, ở bộ SGK
Toán 10 cơ bản, GV chỉ cho học sinh làm bài tập để củng cố kiến thức liên quan
đến định lí Vi-ét đã học ở lớp 9, số lượng bài tập trong bộ sách này cũng rất hạn
chế. Đó là lí do chúng tôi chọn phân tích bộ SGK Toán 10 nâng cao.
Hệ thức Vi-ét và ứng dụng được giới thiệu trong mục 3 của bài 2: “Phương trình
bậc nhất và bậc hai một ẩn”. Cụ thể, SGK10 đã trình bày như sau:
“Ở lớp dưới, chúng ta đã học định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai.
Hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai
ax2
+ bx + c = 0
khi và chỉ khi chúng thỏa mãn các hệ thức
1 2+ =−
b
x x
a
và 1 2 =
c
x x
a
.”
Do đã được học định lí Vi-ét ở lớp 9 nên SGK10 không dẫn dắt học sinh rút ra
công thức 1 2+ =−
b
x x
a
, 1 2 =
c
x x
a
thông qua một hoạt động nào mà chỉ nhắc lại nội
dung định lí. Tuy nhiên, có một sự khác biệt về cách phát biểu nội dung của định lí.
Ở SGK9, định lí Vi-ét được phát biểu dưới dạng mệnh đề “nếu … thì”, còn ở
SGK10 là “khi và chỉ khi”. Qua sự khác biệt trên, ta thấy được mức độ yêu cầu vận
dụng định lí Vi-ét ngầm ẩn mà noosphère đặt ra ở 2 cấp học:

9, nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm thì ta có thể sử dụng công thức
Vi-ét để tính tổng và tích của chúng.
+ Ở lớp 10, ngoài mệnh đề thuận như lớp 9 còn có mệnh đề đảo, đó là nếu có tổng
và tích của 2 số bất kỳ, ta có thể lập được một phương trình bậc hai nhận 2 số ấy
làm nghiệm.
Thực chất mệnh đề đảo ở trên đã xuất hiện một cách không tường minh ở cấp
THCS, đó chính là kiểu nhiệm vụ T5 “xác định phương trình bậc hai thỏa mãn điều
kiện nghiệm cho trước” đã xuất hiện ở SBT9 nhưng không có ở SGK9.
Sau đó, SGK10 đã nhắc lại những ứng dụng của định lí Vi-ét mà học sinh đã
được học:
“Định lí Vi-ét có nhiều ứng dụng quan trọng, chẳng hạn như:
1) Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai;
2) Phân tích đa thức thành nhân tử:
Nếu đa thức f(x) = ax2
+ bx + c có hai nghiệm x1 và x2 thì nó có thể phân tích
thành nhân tử f(x) = a(x – x1)(x – x2) (xem bài tập 9);
3) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là các nghiệm của phương trình
x2
– Sx + P =0.”
Ngoài ba ứng dụng đã nêu, SGK10 đã trình bày thêm một ứng dụng quan trọng
khác của định lí Vi-ét, đó là “xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai”.
SGK10 đã viết như sau:
“Định lí Vi-ét cho phép ta nhận biết dấu các nghiệm của một phương trình bậc hai
mà không cần tìm các nghiệm đó. Ta có nhận xét sau đây.
Nhận xét
Cho phương trình bậc hai ax2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x1 và x2 (x1 ≤ x2).
Đặt = −
b
S
a
và =
c
P
a
. Khi đó:
– Nếu P < 0 thì x1< 0< x2 (hai nghiệm trái dấu);
– Nếu P > 0 và S >0 thì 0 <x1 ≤ x2 (hai nghiệm dương);

>0 và S<0 thì x1 ≤ x2 <0 (hai nghiệm âm).”
Đi kèm với nhận xét trên là một ví dụ và chú ý như sau:
“ Ví dụ 4.
Phương trình bậc hai 2
(1 2) 2(1 2) 2 0− − + + =x x có 1 2 0=− <a và
2 0= >c nên P < 0.
Vậy phương trình đó có hai nghiệm trái dấu.
CHÚ Ý
Trong ví dụ 4, cả hai kết luận phương trình có hai nghiệm và hai nghiệm đó trái
dấu đều được suy ra từ P<0.
Trường hợp P>0, ta phải tính ∆ (hay ‘∆ ) để xem phương trình có nghiệm hay
không rồi mới tính S để xác định dấu các nghiệm.”
Như vậy, trong ba trường hợp xét dấu được nêu ra trong phần nhận xét, trường
hợp phương trình có hai nghiệm trái dấu, học sinh không cần phải tính ∆ (hoặc
‘∆ ). Cách trình bày của SGK khá dài và gây khó hiểu cho học sinh khi vừa nêu
nhận xét kèm theo chú ý.
Tuy nhiên, SBT lớp 10 nâng cao đã cung cấp cho học sinh cách xét dấu các
nghiệm của phương trình bậc hai một cách đầy đủ và ngắn gọn hơn trong SGK. Qua
đó, học sinh dễ nắm bắt kiến thức hơn, trang 57 SBT có viết:
“ Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Phương trình có hai nghiệm trái dấu  P < 0.
Phương trình có hai nghiệm dương  ∆ ≥ 0, P > 0 và S > 0.
Phương trình có hai nghiệm âm  ∆ ≥ 0, P > 0 và S < 0.”
Để minh họa cho trường hợp P >0, SGK đã trình bày ví dụ 5 như sau:
“Ví dụ 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình sau (nếu có)
2
(2 3) 2(1 3) 1 0.− + − + =x x (*)
Giải. Ta có
2 3 0= − >a và c = 1 >0 => P >0;
2
‘ (1 3) (2 3) 2 3 ‘ 0∆ = − − − = − => ∆ > (vậy (*) có hai nghiệm phân biệt);

− >a và ‘ (1 3) 0 0.− =− − > => >b S
Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm dương.”
Như vậy, ngoài những ứng dụng của định lí Vi-ét mà học sinh đã được biết ở
lớp 9, SGK10 đã giới thiệu thêm một ứng dụng quan trọng khác đó là: xét dấu các
nghiệm của một phương trình bậc hai. Điều này cũng nằm trong phần kĩ năng mà
SGV 10 nâng cao đã nhắc tới ở trang 106: “Biết áp dụng định lí Vi-ét để xét dấu các
nghiệm của một phương trình bậc hai và biện luận số nghiệm của một phương
trình trùng phương”.
Bên cạnh việc xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai, học sinh có thể sử
dụng định lí Vi-ét để biện luận số nghiệm của một phương trình trùng phương. Điều
này được trình bày sau cùng trong phần “ứng dụng của định lí Vi-ét” trong SGK.
“Việc xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai giúp ta xác định được số
nghiệm của phương trình trùng phương.
Ta đã biết, đối với phương trình trùng phương
4 2
0+ + =ax bx c (4)
Nếu đặt y = x2
(y≥ 0) thì ta đi đến phương trình bậc hai đối với y
2
0.+ + =ay by c (5)
Do đó, muốn biết số nghiệm của phương trình (4), ta chỉ cần biết số nghiệm của
phương trình (5) và dấu của chúng.”
Kiến thức về phương trình trùng phương đã được giới thiệu ở lớp 9, nhưng việc
xác định số nghiệm dựa vào định lí Vi-ét đã không được đưa vào ở cấp học này mà
học sinh chỉ mới được làm quen với cách giải. Để minh họa cho ứng dụng biện luận
số nghiệm của phương trình trùng phương, SGK đã đưa ra ví dụ 6.
“Ví dụ 6. Cho phương trình
4 2
2 2( 2 3) 12 0.− − − =x x (6)
Không giải phương trình, hãy xét xem phương trình (6) có bao nhiêu nghiệm?
Giải. Đặt 2
( 0)= ≥y x y , ta đi đến phương trình
2
2 2( 2 3) 12 0.− − − =y y (7)

có 2 0= >a và 12 0=− <c nên có hai nghiệm trái dấu. Vậy
phương trình (7) có một nghiệm dương duy nhất, suy ra phương trình (6) có hai
nghiệm đối nhau.”
Qua cách trình bày “ứng dụng của định lí Vi-ét” trong SGK10, ta thấy chỉ có
thêm một ứng dụng mới mà học sinh được học, đó là “xét dấu các nghiệm của
phương trình bậc hai”. Vì thực chất việc “biện luận số nghiệm của phương trình
trùng phương” cũng suy ra từ việc xét dấu trên.
Một ứng dụng rất quan trọng khác của định lí Vi-ét được SGK10 trình bày ở bài
5 “ Một số ví dụ về hệ phương trình bậc hai hai ẩn”. Cụ thể, trong ví dụ 2 trang 98
SGK đại số 10 nâng cao:
“Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
(II)
2 2
4
2.
 + + =

+ + =
x xy y
xy x y
Cách giải. Ta có nhận xét rằng vế trái của mỗi phương trình trong hệ đã cho là một
biểu thức đối xứng đối với x và y (nghĩa là: khi thay thế x bởi y và y bởi x thì biểu
thức không thay đổi). Trong trường hợp này, ta dùng cách đặt ẩn phụ
S = x + y và P = xy.
Khi đó, x2
+ xy + y2
= (x +y)2
– xy = S2
– P.
Do đó, từ hệ (II), ta có hệ phương trình (ẩn là S và P)
2
4
2.
 − =

+ =
S P
S P
Dễ thấy hệ này có hai nghiệm là
3
5
= −

=
S
P
và
2
0.
=

=
S
P
”
Qua ví dụ 2, SGK10 đã đưa ra một khái niệm mới đó là “ biểu thức đối xứng”
mà trước đó chỉ được nhắc tới trong SBT. Ở đây, SGK10 đã định nghĩa biểu thức
đối xứng như sau: “ Khi thay thế x bởi y và y bởi x thì biểu thức không thay đổi”.
Như vậy, học sinh đã được biết thêm một công cụ nữa để giải hệ phương trình mà
các biểu thức được cho đối xứng, đó là sử dụng cách đặt ẩn phụ để đưa hệ về theo 2

P. Các hệ phương trình này được gọi là hệ phương trình đối xứng (chú ý
trang 100 SGK10).
Tổ chức toán học liên quan đến hệ thức Vi-ét trong SGK10, SBT10
Chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các tổ chức toán học liên quan đến nội dung
định lí Vi-ét trong SGK và SBT lớp 10 để tìm ra sự khác biệt giữa hai mối quan hệ
thể chế: THCS và THPT đối với hệ thức Vi-ét.
Dù SGK10 đặt trọng tâm vào ứng dụng mới của định lí Vi-ét “xét dấu các
nghiệm của phương trình bậc hai”, song chúng ta vẫn bắt gặp một kiểu nhiệm vụ đã
biết ở lớp 9, đó là kiểu nhiệm vụ T2’: “Tính hệ thức liên quan giữa các nghiệm”.
Kiểu nhiệm vụ T2’: “ Tính hệ thức liên quan giữa các nghiệm”
Kiểu nhiệm vụ T2’ xuất hiện với số lượng hạn chế 7/29. Đặc trưng của 5 bài tập
thuộc T2’: trước khi sử dụng công thức Vi-ét để tính, đề bài không yêu cầu kiểm tra
điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Lấy ví dụ bài tập 10 trang 78 SGK
lớp 10 nâng cao.
“Không giải phương trình x2
– 2x – 15 =0, hãy tính:
a) Tổng các bình phương hai nghiệm của nó;
b) Tổng các lập phương hai nghiệm của nó;
c) Tổng các lũy thừa bậc bốn hai nghiệm của nó.”
Từ sự có mặt của T2’ trong SGK10 cùng những đặc trưng của nó, chúng tôi
càng củng cố thêm niềm tin về giả thuyết hợp đồng didactic đã nêu ở phần trước, đó
là HĐ: “Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương
trình bậc hai khi sử dụng công thức Vi-ét” tồn tại ngầm ẩn ở học sinh qua các cấp
học.
Bài tập 57c trang 101 SGK lớp 10 nâng cao chính là cơ sở để chúng tôi hình
thành thực nghiệm sau này.
“ Cho phương trình (m – 1)x2
+ 2x – 1 = 0.
a) Giải và biện luận phương trình đã cho.
b) Tìm các giá trị của m sao cho phương trình đó có hai nghiệm trái dấu.

giá trị của m sao cho tổng các bình phương hai nghiệm của phương
trình đó bằng 1.
Giải:
a) Phương trình vô nghiệm khi m <0.
b) m >1.
c) Trước hết, điều kiện để phương trình có hai nghiệm là 0 1≤ ≠m . Gọi hai
nghiệm là x1 và x2. Ta có 1 2 1 2
2 1
;
1 1
− −
+= =
− −
x x x x
m m
. Do đó:
2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) 2 1
2 5.
x x x x x x
m
+ = + − =
<=> = ±
Giá trị 2 5 0= − <m nên bị loại. Kết luận: 2 5.= +m ”
Có 1 bài tập cũng đã xuất hiện trong SGK9, đó là bài 9a trang 78 SGK lớp 10
nâng cao.
“ Giả sử phương trình ax2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm là x1 và x2. Chứng
minh rằng ta có thể phân tích ax2
+ bx + c =a(x – x1)(x – x2).”
Tương tự cũng có một ứng dụng của bài tập này mà SGK đưa ra đó là phân tích
đa thức thành nhân tử. Chúng tôi không phân tích bài tập thuộc dạng này vì nó chỉ
sử dụng kết quả của bài tập chứ không trực tiếp sử dụng định lí Vi-ét và vì số lượng
của bài tập này rất ít (chỉ 1 câu) trong SGK.
Kiểu nhiệm vụ T6: “Xét dấu các nghiệm”
Đây là kiểu nhiệm vụ mới và cũng là kiểu nhiệm vụ trong tâm liên quan đến hệ
thức Vi-ét của SGK10. Số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T6 là 7/29.
Ví dụ: døk 79d vt cpi 323 U I M n�r 10 nâng cao
“ Cho phương trình (m – 1)x2
+ 2x – 1 = 0.
…
b) Tìm các giá trị của m sao cho phương trình đó có hai nghiệm trái dấu”
Kĩ thuật 6τ :
+ Xác định hệ số a, b, c của phương trình bậc hai ax2
+ bx + c = 0. (a≠ 0)
+ Xét xem phương trình bậc hai có nghiệm hay không bằng cách tính ∆ .

=
b c
S P
a a
. Nếu:
– P < 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu;
– P > 0 và S > 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương;
– P > 0 và S < 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm âm.
Công nghệ 6θ : nhận xét trang 76 SGK10.
Lời giải bài 57b/ 101 SGK10 minh họa cho kĩ thuật 6τ :
“ Phương trình (m – 1)x2
+ 2x – 1 = 0. (1)
(1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P<0
Suy ra:
1
0
1
1.
m
m
−
<
−
<=> >
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi m > 1.”
Kiểu nhiệm vụ T7: “Biện luận số nghiệm của phương trình trùng phương”
Đây cũng là một trong hai nhiệm vụ trọng tâm trong SGK10. Có 8/29 bài tập
thuộc kiểu nhiệm vụ này.
Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này, học sinh phải nắm vững kĩ thuật 6τ “xét dấu
các nghiệm của phương trình bậc hai”, từ đó mới xác định đúng số nghiệm của
phương trình trùng phương.
Kĩ thuật 7τ :
+ Đưa phương trình trùng phương ax4
+ bx2
+ c = 0 (1) về phương trình bậc hai
ay2
+ by + c = 0 (2) bằng cách đặt y = x2
( y≥ 0).
+ Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai ay2
+ by + c = 0. Khi đó:
– (1) có 4 nghiệm: (2) có hai nghiệm dương phân biệt.
– (1) có 2 nghiệm: (2) có hai nghiệm trái dấu hoặc (2) có nghiệm kép dương.
– (1) vô nghiệm: (2) có hai nghiệm âm phân biệt hoặc (2) có nghiệm kép âm
hoặc vô nghiệm.
Công nghệ 7θ : nhận xét trang 76, 77 SGK10.

họa cho kĩ thuật 7τ :
Ví dụ: D øk 20/ 81 S G K 10 nâng cao
“ Không giải phương trình, hãy xét xem mỗi phương trình trùng phương sau đây
có bao nhiêu nghiệm.
4 2
4 2
) 8 12 0;
)(1 2) 2 1 2 0;
+ + =
− + + − =
a x x
c x x
4 2
4 2
) 1,5 2,6 1 0;
) ( 3 2) 0.
− − + =
− + − =
b x x
d x x
Giải:
4 2
) 8 12 0+ + =a x x (1)
Đặt t= x2
(t ≥ 0).
Phương trình (1) trở thành:
2
8 12 0.+ + =t t (2)
‘ 4 0.
8 0; 12 0.
∆ = >
=− < = >S P
Suy ra: (2) có 2 nghiệm âm phân biệt => (1) vô nghiệm.
4 2
) 1,5 2,6 1 0.− − + =b x x (1)
Đặt t= x2
(t ≥ 0).
Phương trình (1) trở thành:
2
1,5 2,6 1 0.− − + =t t (2)
‘ 3,19 0.
26 2
0. 0.
15 3
∆= >
=− < =− <S P
Suy ra: (2) có 2 nghiệm trái dấu => (1) có 2 nghiệm đối nhau.
4 2
)(1 2) 2 1 2 0.− + + − =c x x (1)
Đặt t= x2
(t ≥ 0).
Phương trình (1) trở thành:
2
(1 2) 2 1 2 0.− + + − =t t (2)
‘ 2 2 2 0.
2( 2 1) 0; 1 0.
∆= − >
= + > = >S P

có 2 nghiệm dương phân biệt => (1) có 4 nghiệm.
4 2
) ( 3 2) 0.− + − =d x x (1)
Đặt t= x2
(t ≥ 0).
Phương trình (1) trở thành:
2
( 3 2) 0.− + − =t t (2)
0
3 2
t
t
=
<=> 
= −
Suy ra: (2) có 2 nghiệm dương => (1) có 3 nghiệm (do (2) có 1 nghiệm bằng 0).”
Kiểu nhiệm vụ T1: “Giải hệ phương trình đối xứng loại 1”
Đây là kiểu nhiệm vụ đã có mặt trong [a] và [b]. Có 7/29 bài tập thuộc kiểu
nhiệm vụ này trong SGK10.
Ví dụ: døk v‫ﻱ‬r 46a/ 100 S G K 10 nâng cao
“
2 2
8
)
5;
 + + + =

+ + =
x y x y
a
xy x y
”
Ta sẽ sử dụng kĩ thuật 12τ đã trình bày ở chương 1 để giải quyết kiểu nhiệm vụ
T1 trong SGK10.
Kĩ thuật 12τ :
+ Đặt ẩn phụ: S = x + y và P = xy, đưa hệ đã cho về hệ phương trình theo 2 ẩn S, P.
+ Giải hệ phương trình tìm S, P.
+ Phương trình bậc hai 2
0− + =z Sz P nhận x,y làm nghiệm. Điều kiện có nghiệm:
2
4≥S P.
Công nghệ 1θ : công thức Vi-ét.
Lời giải minh họa cho kĩ thuật 12τ :
“ Bài 46a/100 SGK 10 nâng cao
2 2
8
5
 + + + =

+ + =
x y x y
xy x y
Đặt S= x +y, P = xy. Hệ đã cho trở thành:

6
2 hay 11
S S P
S P
S S
P P
 + − =

+ =
= = −
<=> 
= =
So với điều kiện: S2
≥ 4P, nhận S =3, P =2. Do đó x,y là 2 nghiệm của phương
trình bậc hai:
2
3 2 0.− + =z z (*)
Phương trình (*) có 2 nghiệm 1 21; 2= =z z .
Vậy nghiệm của hệ đã cho là (1;2) và (2;1). ”
Kiểu nhiệm vụ T8: “Biện luận hệ phương trình”
Kiểu nhiệm vụ này chỉ có 1 bài tập trong SGK, đó là bài 62a trang 102.
Ví dụ: døk 62a/ 102 S G K 10
“Giải và biện luận hệ phương trình
4
)
+ =

=
x y
a
xy m
”
Kĩ thuật 8τ :
+ Đặt S =x +y; P =xy. Khi đó x, y là hai nghiệm của phương trình bậc hai
2
0.− + =z Sz P (*)
+ Biện luận số nghiệm của (*) bằng cách tính ∆ . Nếu :
– ∆ > 0: (*) có 2 nghiệm phân biệt => hệ đã cho có 2 nghiệm.
– ∆ = 0: (*) có nghiệm kép => hệ đã cho có 1 nghiệm.
– ∆ < 0: (*) vô nghiệm => hệ đã cho vô nghiệm.
Công nghệ 8θ : định lí Vi-ét, nghiệm của phương trình bậc hai.
Lời giải minh họa cho kĩ thuật 8τ :
“
4+ =

=
x y
xy m
Đặt S= x +y; P = xy. Khi đó x, y là 2 nghiệm của phương trình
2
4 0.− + =z z m (*)

4 –m. Do đó:
– Nếu m > 4 thì ∆ ’ < 0, (*) vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm.
– Nếu m = 4 thì ∆ ’ =0, (*) có 1 nghiệm kép z =2 nên hệ đã cho có một nghiệm
(x;y) = (2;2).
– Nếu m < 4 thì ∆ ’ > 0, (*) có hai nghiệm phân biệt 2 4= ± −z m nên hệ đã
cho có hai nghiệm
2 4 2 4
hay
2 4 2 4
 = − − = + − 
 
= + − = − −  
x m x m
y m y m
”
Bảng 2.2. Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong SGK10, SBT10
Kiểu
nhiệm vụ
Số bài tập
SGK SBT
T1 7 4
T2’ 7 12
T6 7 1
T7 8 5
T8 1 1
Khác 1 0
Tổng 31 23
Kết luận
Định lí Vi-ét được trình bày ở lớp 10 dưới dạng một mệnh đề tương đương “khi
và chỉ khi”, nó ngầm ẩn một yêu cầu cao hơn ở lớp 9 đối với học sinh, đó là việc
xác định một phương trình bậc hai nhận hai số đã cho làm nghiệm khi biết tổng và
tích của chúng. Lí do của việc trình bày này là học sinh đã được tiếp cận với khái

trong chương đầu của SGK10. Tuy nhiên, kiểu nhiệm vụ T5 “xác
định phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện nghiệm cho trước” lại không có mặt
trong SGK lẫn SBT nâng cao lớp 10.
Những ứng dụng đã học ở cấp dưới như: nhẩm nghiệm, tìm hai số biết tích và
tổng của chúng… chỉ được nhắc lại và các kiểu nhiệm vụ này không xuất hiện trong
SGK10 cũng như SBT. Cuốn “Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán” đã đề
cập:“ Biết vận dụng định lí Vi-ét vào việc xét dấu nghiệm của phương trình bậc
hai”. Do đó trọng tâm được SGK lớp 10 nhắm tới đó là: biện luận và xét dấu các
nghiệm của phương trình bậc hai, phương trình trùng phương. Qua đó giúp học sinh
rèn luyện óc tư duy lôgic mà trong phần mục tiêu của SGV trang 106 đã đề cập.
Các kiểu nhiệm vụ xuất hiện ở SGK10 với số lượng không quá chênh lệch,
không có kiểu nhiệm vụ nào được ưu tiên. Kiểu nhiệm vụ T1 mang dáng dấp của
kiểu nhiệm vụ T1’ “Tìm hai số biết tổng và tích” ở lớp 9 nhưng ở mức độ yêu cầu
cao hơn đối với học sinh. Kiểu nhiệm vụ T2’ là kiểu nhiệm vụ cũng đã xuất hiện ở
SGK lớp 9 tuy nhiên với mức độ khó hơn như: tính tổng các lập phương, tổng các
lũy thừa bậc bốn các nghiệm của phương trình bậc hai. Kiểu nhiệm vụ này đã được
SBT lớp 10 nâng cao viết là: “Tính giá trị các biểu thức đối xứng của hai nghiệm
của phương trình bậc hai”. Cụ thể SBT đã trình bày các biểu thức đối xứng sau:
“
1 2 1 2
2 2 2 3 3 3
1 2 1 2
; ;
2 ; 3 .
=+ =− = =
+ = − + = −
b c
S x x P x x
a a
x x S P x x S PS
”
Như vậy, thuật ngữ “đối xứng” được sử dụng trong [a] và [b] giờ đã được sử
dụng ở cấp học này, học sinh đã sử dụng cách đặt ẩn phụ (S và P) để giải các hệ
phương trình đối xứng. Đó cũng chính là kĩ thuật 12τ giải quyết kiểu nhiệm vụ T1
“giải hệ phương trình đối xứng loại 1” ở giáo trình [a]. Trong khi việc sử dụng thuật
ngữ này đã không được sử dụng tường minh trong SGK9, các biểu thức đối xứng
này chỉ được HS hiểu dưới dạng tổng S và tích P. Từ đó ta thấy sự chênh lệch tri
thức giữa SGK10 với [a] và [b] đã được thu hẹp khá nhiều thông qua việc đưa vào

thức đối xứng” cũng như các kiểu nhiệm vụ có mặt ở SGK10, đặc
biệt là kiểu nhiệm vụ T1.
2.3. Phân tích SGK 11, 12 nâng cao
Tài liệu phân tích:
+ Đoàn Quỳnh tổng chủ biên (2010), Đại số và giải tích 11 nâng cao, Nxb Giáo
dục (sau đây được kí hiệu là SGK11).
+ Đoàn Quỳnh tổng chủ biên (2010), Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục (sau
đây được kí hiệu là SGK12).
Ở cuối lớp 11, học sinh mới sử dụng lại hệ thức Vi-ét khi giải các bài toán liên
quan đến đạo hàm của hàm số bậc 3. Trong phần “Câu hỏi và bài tập cuối năm”, ở
bài tập 22 trang 227 SGK 11 nâng cao, kiến thức về định lí Vi-ét sẽ được học sinh
sử dụng để giải quyết câu b của bài toán.
Bài 22 trang 227
“ Cho hàm số y = mx3
+ x2
+ x – 5. Tìm m để:
a) y’ bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất;
b) y’ có hai nghiệm trái dấu;
c) y’ >0 với mọi x.
Giải:
…
b) y’ = 3mx2
+ 2x + 1
y’=0  3mx2
+ 2x + 1 = 0. (1)
(1) có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P< 0
1
0
3
0
=> <
<=> <
m
m
Vậy y’ có 2 nghiệm trái dấu khi m< 0. ”
Đây là bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T6 “Xét dấu các nghiệm” đã có mặt ở
SGK10, chỉ có 1 bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này ở SGK11. Các kiểu nhiệm vụ
khác liên quan đến việc sử dụng hệ thức Vi-ét không có mặt ở SGK lớp 11 nâng
cao.

tích 12 nâng cao, ở bài 8 “ Hệ phương trình mũ và lôgarit”,
trang 125 có ví dụ sau:
“ Ví dụ 1. Xét hệ phương trình
1
2 3 5
2 3 2
+
+ −
 + =

=
x y y
x y y
Đặt u = 2x+y
và v = 3y
(u>0, v>0), ta có hệ phương trình
5
6
+ =

=
u v
uv
”
Ví dụ 1 này thuộc kiểu nhiệm vụ T1 “Giải hệ phương trình đối xứng loại 1”, kĩ
thuật được sử dụng trong ví dụ này là kĩ thuật 12τ “đặt ẩn phụ” đã sử dụng ở
SGK10. Trong phần bài tập, chỉ có 1 câu liên quan đó là bài 72a trang 127.
“72a.
4 4 4
20
log log 1 log 9
+ =

+ =+
x y
x y
Giải:
4 4 4
4 4
20
log log 1 log 9
20
log log 36
20
36
+ =

+ =+
+ =
<=> 
=
+ =
<=> 
=
x y
x y
x y
xy
x y
xy
Đặt S =x +y; P=xy. Khi đó x, y là 2 nghiệm của phương trình
z2
– 20z +36 =0 (*)
(*) có 2 nghiệm z =2 và z=18. Do đó, hệ đã cho có 2 nghiệm là (2;18) và
(18;2).”
Ngoài kiểu nhiệm vụ T1, trong chương IV “Số phức” còn có 2 bài tập liên quan
đến định lí Vi-ét đó là bài 20 và bài 21 trang 196, 197.
“Bài 20.
a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho
phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?

số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng
5(1 –i).
Giải:
a) Xét phương trình bậc hai:
2
( ) ( ) 0.+ + + + =z a bi z c di (*)
∆ = (a+bi)2
– 4(c+di)
Nếu ∆ ≥ 0 thì nghiệm của (*) là
1 2
( ) ( )
;
2 2
− + + ∆ − + − ∆
= =
a bi a bi
z z
Khi đó
1 2
2
1 2
2( )
2
( ) 4( )
.
4 4
− +
+ = = +
+ − ∆ +
= = = +
a bi
z z a bi
a bi c di
z z c di
Nếu ∆ <0 thì nghiệm của (*) là
1 2
( ) ( )
;
2 2
− + + −∆ − + − −∆
= =
a bi i a bi i
z z
Khi đó
1 2
2 2 2
1 2
2( )
2
( ) ( ) ( )
.
4 4
− +
+ = = +
+ − −∆ + − ∆
= = = +
a bi
z z a bi
a bi i a bi
z z c di
Vậy công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực vẫn còn đúng cho
phương trình bậc hai với hệ số phức.
b) Gọi z1, z2 là hai số phức cần tìm. Đặt S=z1 +z2; P =z1z2
Theo kết quả ở câu a, z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình
z2
– Sz + P = 0
Theo đề ta có S = 4 –i, P = 5(1- i), phương trình trên trở thành
z2
– (4 – i)z + 5(1 –i) = 0
∆ = (4- i)2
– 4.5(1- i)= 16 -8i +i2
– 20 + 20i =12i – 5.

2∆= + = +i i .
Vậy 1 23 ; 1 2 .=+ =−z i z i . ”
Bài 20 câu a yêu cầu kiểm tra định lí Vi-ét bằng cách tính tổng và tích hai
nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số phức. Do đó ta có thể coi câu a thuộc
kiểu nhiệm vụ T2 “tính hệ thức liên quan giữa các nghiệm”. Câu b thuộc kiểu
nhiệm vụ T1’ “ tìm hai số biết tổng và tích”.
“Bài 21b.
Tìm số phức B để phương trình bậc hai z2
+ Bz + 3i =0 có tổng bình phương hai
nghiệm bằng 8.
Giải:
Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Đặt S =z1 +z2, P =z1z2.
Theo đề ta có
z1
2
+ z2
2
= 8
 S2
– 2P = 8
 B2
-2.3i = 8
 B= 8 6± + i =± (3+i).”
Có thể xem bài 21b thuộc kiểu nhiệm vụ T5 “xác định phương trình bậc hai thỏa
mãn điều kiện nghiệm cho trước” khi ta phải sử dụng công thức Vi-ét để xác định
hệ số của lũy thừa bậc nhất B.
Nhận xét
Như vậy, học sinh đã có dịp sử dụng lại định lí Vi-ét ở cuối lớp 11 sau khi đã
được học ở lớp 9, 10. Đến cuối lớp 12, khi học chương IV “Số phức” thì định lí
Vi-ét được xem như là một công thức toán học, gọi là công thức Vi-ét.
Lí do SGK lớp 12 không sử dụng từ “định lí” là vì khi xét phương trình bậc hai
trên trường số phức thì phương trình luôn có nghiệm. Kết quả của bài tập 20, 21 cho
thấy ta không cần xem xét điều kiện có nghiệm như ở các lớp dưới mà chỉ cần sử
dụng hệ thức trong định lí Vi-ét.

2
Qua sự phân tích các SGK ở lớp 9, 10, 11 và 12, chúng tôi rút ra được một số
kết luận sau:
– Về cách thức xuất hiện của công thức Vi-ét:
+ Sự chuyển hóa sư phạm được thể hiện rõ. Ở lớp 9, công thức Vi-ét được
trình bày trong nội dung của một định lí gọi là “định lí Vi-ét”. Đến lớp 12, khi học
sinh học đến chương IV “Số phức” thì SGK đã xem “định lí Vi-ét” là “công thức
Vi-ét”, đó cũng chính là công thức được trình bày trong hai giáo trình đại học [a] và
[b].
+ Các đa thức đối xứng cơ bản là một kiến thức quan trọng dẫn đến việc hình
thành công thức Vi-ét trong giáo trình ở bậc đại học. Tuy nhiên, học sinh ở lớp 9
chưa được giới thiệu về các đa thức này, chúng chỉ biết được ;x y S xy P+ = = là
tổng và tích. Đến lớp 10, thuật ngữ “đối xứng” cũng như định nghĩa về đa thức đối
xứng đã được đề cập trong SGK và SBT lớp 10 nâng cao, từ đó học sinh có thể giải
quyết được các kiểu nhiệm vụ mà đa thức có bậc lớn hơn 2, song kiến thức này vẫn
chỉ giới hạn ở hai đa thức là ;x y xy+ . Đây cũng chính là sự chênh lệch tri thức rõ
ràng nhất giữa bậc đại học và phổ thông.
– Về vai trò “công cụ” của hệ thức Vi-ét:
Thông qua các kiểu nhiệm vụ khá phong phú được trình bày từ lớp 9 đến lớp 12,
học sinh phần nào nắm bắt được công cụ Vi-ét trong việc giải quyết các bài toán
liên quan đến nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai. Đó chính là điểm khác biệt
đối với các kiểu nhiệm vụ ở bậc đại học, các phương trình được xét ở đây đều có
bậc lớn hơn hai (chủ yếu là phương trình bậc ba). Tầm ảnh hưởng của công cụ Vi-ét
đã bị suy giảm khi chúng không còn được sử dụng nhiều ở lớp 11, 12. Chúng tôi sẽ
cố gắng làm rõ hơn điều này ở chương 3 của luận văn.

SINH THÁI CỦA HỆ THỨC VI-ÉT
Mục tiêu của chương
Mục tiêu của chương này là nhằm trả lời cho câu hỏi 4 nêu ra trong phần mở đầu
của luận văn.
CH4: Hệ thức Vi-ét có thể tồn tại lâu trong thể chế dạy học hiện nay ở Việt
Nam? Sự tồn tại của nó gắn liền với những điều kiện ràng buộc nào?
Để hoàn thành mục tiêu, chúng tôi sẽ sử dụng những kết quả đạt được ở chương
2 và tiến hành phân tích thêm những “quan hệ dinh dưỡng” của hệ thức Vi-ét trong
các SGK để trả lời câu hỏi đã đặt ra.
3.1. Trong chương trình toán THCS
Hệ thức Vi-ét trong chương trình toán THCS gắn chặt với kiến thức về phương
trình bậc hai.
Học sinh được làm quen với khái niệm “nghiệm của đa thức một biến” từ năm
lớp 7 sau khi đã được thực hành rất nhiều các bài toán “tìm x” ở tiểu học và lớp 6.
Đến năm lớp 8, “phương trình” và “nghiệm của phương trình” được SGK đưa vào
nhưng khi đó, để tìm nghiệm của phương trình bậc hai học sinh chưa có công cụ
“biệt thức delta ∆ ” mà phải sử dụng phương pháp “phân tích đa thức thành nhân
tử”. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai được dạy chính thức ở năm lớp 9,
bài 6: “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng” (SGK9 trang 44):
“ Đối với phương trình ax2
+ bx + c =0 ( a ≠ 0) và biệt thức ∆ = b2
-4ac:
Nếu ∆ >0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1 2;
2 2
− + ∆ − − ∆
= =
b b
x x
a a
.
…”
Từ công thức nghiệm trên, sau khi thực hiện xong ?1 (SGK9 trang 50), học sinh
đã được học một định lí mới, đó là “Định lí Vi-ét”.
“Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2
+bx +c =0 (a ≠ 0) thì