SBT Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng | Giải SBT Toán lớp 9 - pgddakglong.edu.vn - The first knowledge sharing application in Vietnam

Pgdyenthanh.edu.vn giới thiệu Giải sách bài tập Toán lớp 9 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng chi tiết giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Bài 35 trang 57 SBT Toán 9 tập 2

: Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ thức Vi-ét:

a) 3×2−2x−5=0

b) 5×2+2x−16=0

c) 13×2+2x−163=0

d) 12×2−3x+2=0

Phương pháp giải:

Phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) và b=2b′, Δ′=b′2−ac

+ Nếu Δ′>0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=−b′+△′a; x2=−b′−△′a

+ Nếu Δ′=0 thì phương trình có nghiệm kép x1=x2=−b′a.

+ Nếu Δ′<0 thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

3×2−2x−5=0

Hệ số a=3,b=−2,b′=−1,c=−5

Δ′=(−1)2−3.(−5)=16>0Δ′=16=4×1=1+43=53×2=1−43=−1×1+x2=53+(−1)=23x1x2=53.(−1)=−53

5×2+2x−16=0

Hệ số a=5,b=2,b′=1,c=−16

Δ′=12−5.(−16)=81>0Δ′=81=9×1=−1+95=85×2=−1−95=−2×1+x2=85+(−2)=−25x1x2=85.(−2)=−165

13×2+2x−163=0

⇔x2+6x−16=0

Hệ số a=1,b=6,b′=3,c=−16

Δ′=32−1.(−16)=25>0Δ′=25=5×1=−3+51=2×2=−3−51=−8×1+x2=2+(−8)=−6x1x2=2.(−8)=−16

12×2−3x+2=0

⇔x2−6x+4=0

Hệ số a=1,b=−6,b′=−3,c=4

Δ′=(−3)2−1.4=9−4=5>0Δ′=5×1=3−51=3−5×2=3+51=3+5×1+x2=3−5+3+5=6

x1x2=(3−5)(3+5)=9−5=4.

: Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ thức Vi-ét:

Bài 36 trang 57 SBT Toán 9 tập 2

: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình:

a) 2×2−7x+2=0

b) 2×2+9x+7=0

c) (2−3)x2+4x+2+2=0

d) 1,4×2−3x+1,2=0

e) 5×2+x+2=0

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:

Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) thì:

{x1+x2=−bax1x2=ca

Lời giải:

2×2−7x+2=0

Hệ số a=2;b=−7;c=2

Δ=(−7)2−4.2.2=49−16=33>0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x1+x2=−ba=72

x1x2=ca=22=1

2×2+9x+7=0

Hệ số a=2;b=9;c=7

Δ=92−4.2.7=25>0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x1+x2=−ba=−92;x1x2=ca=72

(2−3)x2+4x+2+2=0

Δ′=22−(2−3)(2+2)

=4−4−22+23+6

=23+6−22>0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x1+x2=−ba=−42−3=−4(2+3)

x1x2=ca=2+22−3=(2+2)(2+3)4−3=4+23+22+6

1,4×2−3x+1,2=0

Δ=(−3)2−4.1,4.1,2=9−6,72=2,28>0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x1+x2=−ba=−−31,4=3014=157x1x2=ca=1,21,4=67

5×2+x+2=0

Δ=1−4.5.2=1−40=−39<0

Phương trình vô nghiệm, không có tổng và tích của các nghiệm.

: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình:

Bài 37 trang 57 SBT Toán 9 tập 2

: Tính nhẩm nghiệm của phương trình:

a) 7×2−9x+2=0

b) 23×2−9x−32=0

c) 1975×2+4x−1979=0

d) (5+2)x2+(5−2)x−10=0

e) 13×2−32x−116=0

f) 31,1×2−50,9x+19,8=0

Phương pháp giải:

Áp dụng:

– Nếu phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) có a+b+c=0 thì phương trình có một nghiệm x1=1, còn nghiệm kia là x2=ca.

– Nếu phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) có a−b+c=0 thì phương trình có nghiệm là x1=−1, còn nghiệm kia là x2=−ca.

Lời giải:

7×2−9x+2=0

Hệ số a=7,b=−9,c=2

Ta có: a+b+c=7+(−9)+2=0

Phương trình có hai nghiệm là: x1=1;x2=ca=27.

23×2−9x−32=0

Hệ số: a=23,b=−9,c=−32

Ta có a−b+c=23−(−9)+(−32)=0

Phương trình có hai nghiệm là: x1=−1;x2=−ca=−−3223=3223

1975×2+4x−1979=0

Hệ số: a=1975,b=4,c=−1979

Ta có: a+b+c=1975+4+(−1979)=0

Phương trình có hai nghiệm là: x1=1;x2=ca=−19791975

(5+2)x2+(5−2)x−10=0

Hệ số a=5+2,b=5−2,c=−10

Ta có: a+b+c=5+2+5−2+(−10)=0)

Phương trình có hai nghiệm là: x1=1; x2=ca=−105+2=−10.(5−2)23

13×2−32x−116=0

Hệ số: a=13,b=−32,c=−116

Ta có:

a−b+c=13−(−32)+(−116)

=13+32−116=26+96−116=0

Phương trình có hai nghiệm là: x1=−1; x2=−ca=−−116:13=116.31=112

31,1×2−50,9x+19,8=0

Hệ số: a=31,1;b=−50,9;c=19,8

Ta có: a+b+c=31,1+(−50,9)+19,8=0

Phương trình có hai nghiệm là:

x1=1;x2=ca=19,831,1=198311

: Tính nhẩm nghiệm của phương trình:

Bài 38 trang 57 SBT Toán 9 tập 2

: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình:

a) x2−6x+8=0

b) x2−12x+32=0

c) x2+6x+8=0

d) x2−3x−10=0

e) x2+3x−10=0

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:

– Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) thì:

{x1+x2=−bax1x2=ca

Lời giải:

x2−6x+8=0

Δ′=(−3)2−1.8=9−8=1>0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

{x1+x2=6x1x2=8⇔x1=2;x2=4

x2−12x+32=0

Δ′=(−6)2−1.32=36−32=4>0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

{x1+x2=12x1x2=32⇔x1=4;x2=8

x2+6x+8=0

Δ′=32−1.8=9−8=1>0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

{x1+x2=−6x1x2=8 ⇔x1=−2;x2=−4

x2−3x−10=0

Ta có: a=1;c=−10⇒ac<0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

{x1+x2=3x1x2=−10⇔x1=−2;x2=5

x2+3x−10=0

Ta có a=1;c=−10⇒ac<0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

{x1+x2=−3x1x2=−10⇔x1=2;x2=−5

: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình:

Bài 39 trang 57 SBT Toán 9 tập 2

a) Chứng tỏ rằng phương trình 3×2+2x−21=0 có một nghiệm là −3. Hãy tìm nghiệm kia.

b) Chứng tỏ rằng phương trình −4×2−3x+115=0 có một nghiệm là 5. Tìm nghiệm kia.

Phương pháp giải:

– Thay x=−3 vào vế trái của phương trình đã cho, nếu cho kết quả bằng 0 thì x=−3 là nghiệm của phương trình đã cho.

– Theo hệ thức Vi -ét ta có x1.x2=ca, biết x1=−3 từ đó ta tính được x2.

Lời giải:

Thay x=−3 vào vế trái của phương trình ta được:

3.(−3)2+2.(−3)−21=27−6−21=0

Vậy x=−3 là nghiệm của phương trình 3×2+2x−21=0.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x1x2=−213

⇒−3.x2=−213⇔x2=73

Thay x=5 vào vế trái của phương trình ta được:

−4.52−3.5+115=−100−15+115=0

Vậy x=5 là nghiệm của phương trình −4×2−3x+115=0

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x1x2=115−4

⇒5×2=−1154⇔x2=−234.

Bài 40 trang 57 SBT Toán 9 tập 2

: Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:

a) Phương trình x2+mx−35=0, biết nghiệm x1=7.

b) Phương trình x2−13x+m=0, biết nghiệm x1=12,5.

c) Phương trình 4×2+3x−m2+3m=0, biết nghiệm x1=−2.

d) Phương trình 3×2−2(m−3)x+5=0, biết nghiệm x1=13.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:

– Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) thì:

{x1+x2=−bax1x2=ca

Lời giải:

Phương trình x2+mx−35=0 có nghiệm x1=7.

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1x2=−35

⇒7×2=−35⇔x2=−5

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x1+x2=−m⇒−m=7+(−5)⇔−m=2⇔m=−2

Vậy m=−2 thì phương trình x2+mx−35=0 có nghiệm x1=7 và nghiệm x2=−5.

Phương trình x2−13x+m=0 có nghiệm x1=12,5.

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+x2=13

⇒12,5+x2=13⇔x2=0,5

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1x2=m ⇒m=12,5.0,5=6,25

Vậy m=6,25 thì phương trình x2−13x+m=0 có nghiệm x1=12,5 và nghiệm x2=0,5.

Phương trình 4×2+3x−m2+3m=0 có nghiệm x1=−2.

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+x2=−34

⇒−2+x2=−34

⇔x2=−34+2=54

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1x2=−m2+3m4

⇒−2.54=−m2+3m4

⇔m2−3m−10=0

Δm=(−3)2−4.1.(−10)=9+40=49>0

⇒Δm=49=7

m1=3+72.1=5

m2=3−72.1=−2

Vậy m=5 hoặc m=−2 thì phương trình 4×2+3x−m2+3m=0 có nghiệm x1=−2 và nghiệm x2=54.

Phương trình 3×2−2(m−3)x+5=0 có nghiệm x1=13 .

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1x2=53

⇒13×2=53⇔x2=5

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1+x2=2(m−3)3

⇒13+5=2(m−3)3

⇔2(m−3)=16

⇔m−3=8⇔m=11

Vậy m=11 thì phương trình 3×2−2(m−3)x+5=0 có nghiệm x1=13 và nghiệm x2=5.

: Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:

Bài 41 trang 58 SBT Toán 9 tập 2

: Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u+v=14;uv=40

b) u+v=−7;uv=12

c) u+v=−5;uv=−24

d) u+v=4,uv=19

e) u−v=10,uv=24

f) u2+v2=85,uv=18

Phương pháp giải:

Áp dụng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S2−4P≥0 thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: x2−Sx+P=0.

Lời giải:

Hai số u và v có u+v=14,uv=40 nên u,v là nghiệm của phương trình:

x2−14x+40=0

Δ′=(−7)2−1.40=49−40=9>0

Δ′=9=3

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

x1=7+31=10;x2=7−31=4

Vậy u=10;v=4 hoặc u=4;v=10.

Hai số u và v có u+v=−7 và uv=12 nên u,v là nghiệm của phương trình x2+7x+12=0

Δ=72−4.1.12=49−48=1>0

Δ=1=1

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

x1=−7+12.1=−3

x2=−7−12.1=−4

Vậy u=−3;v=−4 hoặc u=−4;v=−3.

Hai số u và v có u+u=−5,uv=−24 nên u,v là nghiệm của phương trình x2+5x−24=0

Δ=52−4.1.(−24)=25+96=121>0

Δ=121=11

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

x1=−5+112.1=3

x2=−5−112.1=−8

Vậy u=3;v=−8 hoặc u=−8;v=3.

Hai số u và v có u+v=4,uv=19 nên u,v là nghiệm của phương trình x2−4x+19=0

Δ′=(−2)2−1.19=4−19=−15<0

Phương trình vô nghiệm nên không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện bài toán.

Hai số u và v có u−v=10 và uv=24 suy ra u+(−v)=10 và u(−v)=−24 nên hai số u và −v là nghiệm của phương trình x2−10x−24=0

Δ′=(−5)2−1.(−24)=25+24=49>0

Δ′=49=7

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

x1=5+71=12

x2=5−71=−2

⇒u=12;−v=−2 hoặc u=−2;−v=12

Vậy u=12;v=2 hoặc u=−2;v=−12.

Hai số u và v có u2+v2=85 và uv=18 suy ra u2v2=324 nên hai số u2 và v2 là nghiệm của phương trình x2−85x+324=0

Δ=(−85)2−4.1.324=7225−1296=5929>0

Δ=5929=77

x1=85+772.1=81

x2=85−772.1=4

⇒u2=81;v2=4 hoặc u2=4;v2=81

⇒u=±9;v=±2 hoặc u=±2;v=±9.

Vì uv=18 nên u và v cùng dấu, do đó ta có:

– Nếu u=9 thì v=2

– Nếu u=−9 thì v=−2

– Nếu u=2 thì v=9

– Nếu u=−2 thì v=−9.

: Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

Bài 42 trang 58 SBT Toán 9 tập 2

: Lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

a) 3 và 5;

b) −4 và 7;

c) −5 và 13;

d) 1,9 và 5,1;

e) 4 và 1−2;

f) 3−5 và 3+5

Phương pháp giải:

Phương trình có hai nghiệm x1;x2 có dạng: (x−x1)(x−x2)=0.

Lời giải:

Hai số 3 và 5 là nghiệm của phương trình:

(x−3)(x−5)=0⇔x2−5x−3x+15=0⇔x2−8x+15=0

Hai số −4 và 7 là nghiệm của phương trình:

(x+4)(x−7)=0⇔x2−7x+4x−28=0⇔x2−3x−28=0

Hai số −5 và 13 là nghiệm của phương trình:

(x+5)(x−13)=0⇔x2−13x+5x−53=0⇔3×2+14x−5=0

Hai số 1,9 và 5,1 là nghiệm của phương trình:

(x−1,9)(x−5,1)=0⇔x2−5,1x−1,9x+9,69=0⇔x2−7x+9,69=0

Hai số 4 và 1−2 là nghiệm của phương trình:

(x−4)[x−(1−2)]=0

⇔(x−4)(x−1+2)=0

⇔x2−x+2x−4x+4−42=0

⇔x2−(5−2)x+4−42=0

Hai số 3−5 và 3+5 là nghiệm của phương trình:

[x−(3−5)][x−(3+5)]=0

⇔x2−(3+5)x−(3−5)x+(3−5)(3+5)=0

⇔x2−6x+4=0.

: Lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

Bài 43 trang 58 SBT Toán 9 tập 2

: Cho phương trình x2+px−5=0 có nghiệm là x1;x2. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

a) –x1 và −x2.

b) 1×1 và 1×2

Phương pháp giải:

Áp dụng:

* Hệ thức Vi-ét:

Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) thì:

{x1+x2=−bax1x2=ca

* Phương trình có hai nghiệm x1;x2 có dạng: (x−x1)(x−x2)=0.

Lời giải:

Phương trình x2+px−5=0 có hai nghiệm x1 và x2.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x1+x2=−p1=−px1x2=−51=−5 (1)

Hai số −x1 và −x2 là nghiệm của phương trình:

[x−(−x1)][x−(−x2)]=0

⇔(x+x1)(x+x2)=0

⇔x2+x2x+x1x+x1x2=0

⇔x2+(x1+x2)x+x1x2=0(2)

Từ (1) và (2) phương trình phải tìm là: x2−px−5=0

Phương trình x2+px−5=0 có hai nghiệm x1 và x2.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x1+x2=−p1=−px1x2=−51=−5 (1)

Hai số 1×1 và 1×2 là nghiệm của phương trình:

(x−1×1)(x−1×2)=0⇔x2−1x2x−1x1x+1×1.1×2=0⇔x2−(1×1+1×2)x+1x1x2=0⇔x2−x1+x2x1x2x+1x1x2=0(3)

Từ (1) và (3) suy ra phương trình phải tìm là:

x2−−p−5x+1−5=0⇔x2−p5x−15=0⇔5×2−px−1=0

: Cho phương trình x2+px−5=0 có nghiệm là x1;x2. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

Bài 44 trang 58 SBT Toán 9 tập 2

: Cho phương trình x2−6x+m=0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1−x2=4.
Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:

– Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) thì:

{x1+x2=−bax1x2=ca

Lời giải:

Phương trình x2−6x+m=0 có hai nghiệm x1,x2.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x1+x2=−−61=6

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

{x1+x2=6×1−x2=4⇔{2×1=10×1−x2=4

⇔{x1=55−x2=4⇔{x1=5×2=1

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1x2=m1=m⇒m=5.1=5

Vậy m=5 thì phương trình x2−6x+m=0 có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện x1−x2=4.

Bài tập bổ sung (trang 58,59 SBT Toán 9)

Bài 6.1 trang 58 SBT Toán 9 tập 2

: Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0).

Điều nào sau đây đúng?

A) x1+x2=ba,x1x2=ca

B) x1+x2=−ba,x1x2=−ca

C) x1+x2=ba,x1x2=−ca

D) x1+x2=−ba,x1x2=ca

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:

– Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) thì:

{x1+x2=−bax1x2=ca

Lời giải:

x1,x2 là nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0).

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x1+x2=−ba,x1x2=ca

Chọn D.

Bài 6.2 trang 58 SBT Toán 9 tập 2

: Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình x2+px+q=0. Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x1+x2;x1x2

Phương pháp giải:

Phương trình có hai nghiệm x1;x2 có dạng: (x−x1)(x−x2)=0.

Lời giải:

Giả sử x1,x2 là nghiệm của phương trình: x2+px+q=0.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x1+x2=−p1=−p;x1x2=q1=q

Phương trình có hai nghiệm là x1+x2 và x1x2 tức là phương trình có hai nghiệm là −p và q.

Hai số −p và q là nghiệm của phương trình.

(x+p)(x−q)=0⇔x2−qx+px−pq=0⇔x2+(p−q)x−pq=0

Phương trình cần tìm là: x2+(p−q)x−pq=0.

Bài 6.3 trang 58 SBT Toán 9 tập 2

: Dùng định lí Vi-ét, hãy chứng tỏ rằng nếu tam thức ax2+bx+c có hai nghiệm x1 và x2 thì nó phân tích được thành

ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)

Áp dụng:

Phân tích các tam thức sau thành tích:

a) x2−11x+30

b) 3×2+14x+8

c) 5×2+8x−4

d) x2−(1+23)x−3+3

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:

– Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) thì:

{x1+x2=−bax1x2=ca

Lời giải:

Tam thức bậc hai: ax2+bx+c có hai nghiệm x1,x2 nên phương trình: ax2+bx+c=0(a≠0) có hai nghiệm x1,x2

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x1+x2=−ba;x1x2=ca(1)

Lại có: ax2+bx+c=a(x2+bax+ca) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

ax2+bx+c=a[x2−(x1+x2)x+x1x2]=a[x2−x1x−x2x+x1x2]=a[x(x−x1)−x2(x−x1)]=a(x−x1)(x−x2)

Áp dụng:

x2−11x+30=0Δ=(−11)2−4.1.30=1>0Δ=1=1×1=11+12.1=6×2=11−12.1=5

Ta có: x2−11x+30=(x−6)(x−5)

3×2+14x+8=0Δ′=72−3.8=49−24=25>0Δ′=25=5×1=−7+53=−23×2=−7−53=−4

Ta có: 3×2+14x+8=3(x+23)(x+4)=(3x+2)(x+4)

5×2+8x−4=0Δ′=42−5.(−4)=36>0Δ′=36=6×1=−4−65=−2×2=−4+65=25

Ta có: 5×2+8x−4=5(x−25)(x+2)=(5x−2)(x+2).

d) x2−(1+23)x−3+3=0

Δ=[−(1+23)]2−4.1.(−3+3)

=1+43+12+12−43=25>0

Δ=25=5

x1=1+23+52.1=3+3

x2=1+23−52.1=3−2

Ta có: x2−(1+23)x−3+3=[x−(3+3)][x−(3−2)] =(x−3−3)(x−3+2)

Bài 6.4 trang 59 SBT Toán 9 tập 2

: Cho phương trình

(2m−1)x2−2(m+4)x+5m+2=0(m≠12).

a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.

b) Khi phương trình có nghiệm x1,x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.

c) Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) và b=2b′, Δ′=b′2−ac có nghiệm khi và chỉ khi Δ′≥0.

– Hệ thức Vi-ét:

Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a≠0) thì:

{x1+x2=−bax1x2=ca

Lời giải:

Phương trình: (2m−1)x2−2(m+4)x+5m+2=0(m≠12) (1)

a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi Δ′≥0

Δ′=[−(m+4)]2−(2m−1)(5m+2)

=m2+8m+16−10m2−4m+5m+2

=−9m2+9m+18

=−9(m2−m−2)

=−9(m2−2m+m−2)

=−9[m(m−2)+m−2]

=−9(m−2)(m+1)

Δ′≥0⇔−9(m−2)(m+1)≥0

⇔(m−2)(m+1)≤0

⇔{m−2≥0m+1≤0 hoặc {m−2≤0m+1≥0

TH1:

{m−2≥0m+1≤0⇔{m≥2m≤−1 vô nghiệm

TH2:

{m−2≤0m+1≥0⇔{m≤2m≥−1 ⇔−1≤m≤2

Vậy −1≤m≤2 thì phương trình (1) có nghiệm.

b) Phương trình có hai nghiệm x1,x2.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x1+x2=2(m+4)2m−1; x1x2=5m+22m−1

c) Theo câu b ta có:

{x1+x2=2(m+4)2m−1x1x2=5m+22m−1⇔{x1+x2=2m+82m−1x1x2=52.2m−52+922m−1⇔{x1+x2=2m−1+92m−1x1x2=52(2m−1)+922m−1⇔{x1+x2=2m−12m−1+92m−1x1x2=52(2m−1)2m−1+922m−1⇔{x1+x2=1+9.12m−1x1x2=52+92.12m−1⇔{x1+x2=1+9.12m−12x1x2=5+9.12m−1⇒2x1x2−(x1+x2)=5+9.12m−1−(1+9.12m−1)⇔2x1x2−(x1+x2)=4

Vậy 2x1x2−(x1+x2)=4 là biểu thức không phụ thuộc vào m cần tìm.

SBT Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng | Giải SBT Toán lớp 9 – pgddakglong.edu.vn