Bài 3: Logarit – Thầy Đăng – Học hiệu quả
Học toán online miễn phí với bài giảng “Logarit” của thầy Đăng – giáo viên Toán THPT Nguyễn Thái Bình.
Tại đây, các em có thể xem video về bài giảng, làm bài tập trắc nghiệm, xem video sửa bài tập và download file về làm lại lần nữa.
Chúc các em học hiệu quả ^_^
Mục lục
Video giảng dạy bài 3: Logarit
Định nghĩa:
Cho hai số thực dương \(a,b\) và \(a \neq 1\). Số \(\alpha\) thỏa mãn đẳng thức \(a^\alpha = b\) được gọi là lôgarit cơ số \(a\) của \(b\) và ký hiệu là \(\log_a b\).
Như vậy, với \(a, b > 0,a\neq 1,\alpha \in \mathbb R\) ta có:
\(a^\alpha = b \Leftrightarrow \alpha = \log_a b\)
\(a^\alpha = b \Leftrightarrow \alpha = \log_a b\)
Ví dụ 1:
Vì \(2^3 = 8\) nên ta có: \(\log_2 8 = 3\).
Vì \(5^1 = 5\) nên ta có: \(\log_5 5 = 1\).
Vì \(7^{\frac{1}{2}} = \sqrt{7}\) nên ta có: \(\log_7 \sqrt{7} = \dfrac{1}{2}\).
Vì \(3^0 = 1\) nên ta có: \(\log_3 1 = 0\).
Các tính chất của logarit
Cho \(a,b,c>0;a\neq 1\), ta có các tính chất sau:
1) \(\log_a 1 =0\).
2) \(\log_a a = 1\).
3) \(a^{\log_a b} = b\) (lũy thừa của logarit cùng cơ số thì triệt tiêu)
4) \(\log_a(a^\alpha) = \alpha\) (logarit của lũy thừa cùng cơ số thì triệt tiêu)
5) \(\log_a b+\log_a c = \log_a(b.c)\).
6) \(\log_a b -\log_a c = \log_a\dfrac{b}{c}\).
6′) \(\log_a\dfrac{1}{b} = -\log_a b\).
7) \(\log_a b^\alpha=\alpha\log_a b\).
8) \(\log_{a^\alpha} b = \dfrac{1}{\alpha}\log_a b\).
9) \(\log_c b=\dfrac{\log_a b}{\log_a c}\) hoặc nói \(\log_a c.\log_c b=\log_a b\) với \(c\neq 1\)
9′) \(\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}\) với \(b\neq 1\)
Lưu ý:
+ \(\log_a x^{2n}=2n.\log_a |x|\) vì điều kiện ban đầu là \(x\neq 0\) chứ không phải là \(x>0\).
+ \(\log_a (x.y)=\log_a |x|+\log_a |y|\) vì điều kiện ban đầu là \(x.y>0\).
Quy tắc tính logarit
Dựa vào các tính chất của logarit, để tính giá trị các logarit hoặc các bài toán khác có liên quan đến logarit, ta cần đưa chúng về cùng một cơ số (kể cả là cơ số của lũy thừa)
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức
a) \(\log_2\dfrac{1}{32}=\log_2{2^{-5}}=-5\).
b) \(\log_9 27=\log_{3^2}3^3=\dfrac{3}{2}\log_3 3=\dfrac{3}{2}\).
c) \(3^{\log_9 4+\log_3 5}=3^{\log_{3^2}2^2}.3^{\log_3 5}=3^{\log_3 2}.5=2.5=10\).
d) \(\log_2 5.\log_3 8.\log_5 3=(\log_2 5.\log_5 3).\log_3 8=\log_2 3.\log_3 8=\log_2 8=3\).
e) \(\log_3 6+\log_{\sqrt{3}}2-\log_{\sqrt[3]3}{18}=\log_3 6+2\log_3 2-3\log_3 18=\log_3 \dfrac{6.2^2}{18^3}=\log_3 \dfrac{1}{243}=-\log_3 3^5=-5\)
So sánh hai logarit có cùng cơ số
Nếu \(a>1\) thì: \(\log_a b< \log_a c \Leftrightarrow 0<b < c\).
Nếu \(0<a<1\) thì: \(\log_a b < \log_a c \Leftrightarrow b > c > 0\).
Ví dụ 3: So sánh các giá trị sau:
a) \(\log_9 15\) và \(\log_{27} 13\).
b) \(\log_5 7\) và \(\log_{17}11\).
c) \(\log_{0,3} 5\) và \(\log_{0,7} 0,9\).
Giải:
a) \(\log_9 15\) và \(\log_{27} 13\)
Ta có: \(\log_9 15=\log_{3^2}15=\dfrac{1}{2}\log_3 15=\log_3 \sqrt{15}\).
Mặt khác: \(\log_{27} 13=\log_{3^3}13=\dfrac{1}{3}\log_3 13=\log_3\sqrt[3]{13}\).
Mà cơ số \(3>1\) và \(\sqrt{15}>\sqrt[3]{13}\) nên \(\log_9 15>\log_27 13\).
b) \(\log_5 7\) và \(\log_{17}11\)
Ta có: \(\log_5 7>\log_5 5=1\)
Mà: \(\log_{17}11<\log_{17}17=1\)
Nên: \(\log_5 7>\log_{17}11\)
c) \(\log_{0,3} 5\) và \(\log_{0,7} 0,9\)
Ta có: \(\log_{0,3} 5<\log_{0,3}1=0\)
Mà: \(\log_{0,7} 0,9>\log_{0,7}1=0\)
Nên: \(\log_{0,3} 5<\log_{0,7} 0,9\)
Nhận xét:
- Nếu \(a >1,b >1\) hoặc \(0<a<1,0<b<1\) thì \(\log_a b >0\).
- Nếu \(a >1,0<b<1\) hoặc \(0<a<1,b>1\) thì \(\log_a b < 0\)
- Nếu \(1<a<b\) thì \(\log_a b>1\).
- Nếu \(1<b<a\) thì \(0<\log_a b < 1\)
Logarit có cơ số đặc biệt
+ \(\log b = \lg b = \log_{10} b\): được gọi là logarit thập phân
+ \(\ln b = \log_e b\): được gọi là logarit tự nhiên (hoặc còn gọi là logarit Ne-pe)
Với:
\(e =\lim\limits_{n\to + \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \approx 2,718…\)
Bài tập trắc nghiệm
\(e =\lim\limits_{n\to + \infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \approx 2,718…\)
Lưu ý: cần đăng nhập để làm bài tập trắc nghiệm trực tiếp trên website
This quiz is for logged in users only.
Tên người dùng hoặc Địa chỉ Email
Mật khẩu
Tự động đăng nhập
Video sửa bài tập trắc nghiệm
Kênh youtube sửa bài: https://youtu.be/HLUjVkCbd64
Tài liệu
Xem video bài giảng của thầy Đăng tại: https://www.youtube.com/channel/UCpoJyskCvudoIcY_xJIwxSg
