Cách so sánh căn bậc hai đầy đủ và dễ hiểu

Trong chương trình Toán lớp 9, các em đã được tìm hiểu về các phép tính liên quan đến căn bậc hai. Vậy làm cách nào để so sánh các căn bậc hai? Khi so sánh các căn bậc hai ta cần chú ý điều gì? Bài viết dưới đây VOH Giáo Dục sẽ tổng hợp đầy đủ và chi tiết nhất các phương pháp so sánh căn bậc hai, mỗi phương pháp đều có ví dụ và hướng dẫn giải cụ thể. Để từ đó các em có thể vận dụng và giải các bài tập liên quan một cách nhanh và chính xác nhất. Chúng ta cùng nhau theo dõi nhé!

Căn bậc hai số học của một số q ≥ 0 là một số x sao cho bình phương của nó bằng q:

Với q ≥ 0 ta có:

Một số dương q bất kỳ có đúng hai căn bậc hai là và .

Lưu ý: Căn bậc hai của số 0 là 0.

Số âm không có căn bậc hai.

Ví dụ. Ta có: vì 6 ≥ 0 và 62 = 36.

*Phương pháp giải:

Để so sánh căn bậc hai số học của hai số m và n không âm ta dựa vào tính chất:

Nếu m < n thì .

Ví dụ 1. Để so sánh 5 và ta làm như sau:

Ta có:

Vì 25 > 23 nên .

Vậy .

*Phương pháp giải:

Để so sánh các căn bậc hai có dạng như trên ta có thể thực hiện theo một trong hai cách sau:

Với a, b là các số không âm ta có: suy ra .

Ngoài ra, một số tính chất bất đẳng thức thường được dùng trong dạng này là:

+ a ≤ b ⇔ a + c ≤ b + c (Cộng hai vế với số c bất kỳ)

+ a ≤ b ⇔ a.m ≤ b.m (Nhân hai vế với số dương m)

+ a ≤ b ⇔ a.n ≥ b.n (Nhân hai vế với số âm n)

Để nắm rõ được hai cách làm trên thì chúng ta cùng nhau theo dõi hai ví dụ dưới đây nhé!

Ví dụ 2. So sánh và

Hướng dẫn: Đầu tiên, chúng ta quan sát thấy 16; 9 là hai số chính phương và tổng 16 + 9 cũng là số chính phương. Nghĩa là ta có thể tính trực tiếp các căn bậc hai này. Như vậy trong ví dụ này ta áp dụng cách 1 để so sánh các căn bậc hai.

Ta có:

Vì 5 < 7 nên

Ví dụ 3. So sánh và

Hướng dẫn: Ở ví dụ này, ta thấy 2001; 2002 và tổng 2001 + 2002 không phải là số chính phương. Nghĩa là ta không thể tính trực tiếp các căn bậc hai. Vì thế trong ví dụ này ta phải áp dụng cách 2 để so sánh các căn bậc hai. Đầu tiên, chúng ta tính bình phương hai số và so sánh hai kết quả thu được.

Ta có:

Vì

Nên

Suy ra

Vậy .

*Phương pháp giải:

Khi chúng ta không thể so sánh trực tiếp hai căn bậc hai theo các cách trên thì ta tìm một số trung gian (lớn hơn số này và bé hơn số kia, thông thường chúng ta chọn các căn bậc hai của số chính phương làm trung gian) sau đó áp dụng tính chất bắc cầu để so sánh: Nếu a < b và b < c thì a < c.

Ví dụ 4. So sánh và .

Hướng dẫn: Ở ví dụ này, ta nên chọn căn bậc hai của số chính phương là   làm số trung gian.

Ta có:

Vì nên

Theo tính chất bắc cầu, ta có: .

Vậy .

Ví dụ 5. Qua hai ví dụ 2 và 3 hãy chứng minh công thức tổng quát sau:

Với hai số m và n không âm ta có .

Giải.

Ta có:

Vì với m,n ≥ 0

Nên

Vậy .

Bài 1. Chọn câu trả lời đúng. Kết quả nào sau đây là đúng?

A.

B.

C.

D.

Bài 2. So sánh:

a)  và 11

b) và 12

c) và

d) 8 và

e) và

f) và

Bài 3. Chứng minh:

a) Nếu a > 1 thì .

b) Nếu thì .

ĐÁP ÁN

a) Ta có a > 1 ⇔ a – 1 > 0 ⇔

Vì với mọi số a > 1

Suy ra

(nhân hai vế với )

Vậy với a > 1 thì .

b) Ta có ⇔ ⇔ .

Vì với mọi số  

Suy ra

 (nhân hai vế với )

Vậy với  thì .