Chuyên đề hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Học toán online.vn gửi đến các em học sinh và bạn đọc Chuyên đề hệ thức Vi-ét và ứng dụng.
Tài liệu môn Toán sẽ luôn được cập thường xuyên từ nguồn đóng góp của quý bạn đọc và hoctoanonline.vn sưu tầm, các em học sinh và quý bạn đọc truy cập web để nhận những tài liệu Toán mới nhất nhé.
Hơn nữa, Hoctoanonline.vn còn cung cấp file WORD Tài liệu môn Toán miễn phí nhằm hỗ trợ thầy, cô trong quá trình dạy học, biên soạn đề thi.
Các em học sinh Đăng ký kênh youtube để học thêm nhé
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hệ thức Vi-ét
Cho phương trình bậc hai ax2 +bx + c = 0 (a 0). Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình thì:
b
S x1 x2 a
.
P x .x c
1 2
a
2. Ứng dụng của hệ thức Vi-ét
a) Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
– Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, nghiệm còn lại là
x2
CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNGA.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠTI. TÓM TẮT LÝ THUYẾT1. Hệ thức Vi-étCho phương trình bậc hai ax2 +bx + c = 0 (a 0). Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình thì:b S x1 x2 a P x .x c1 22. Ứng dụng của hệ thức Vi-éta) Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).– Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, nghiệm còn lại làx2
c
.
a
c
– Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1, nghiệm còn lại là x2 .
a
b) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó
là hai nghiệm của phương trình:
X2 – S X + P = 0.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Không giải phương trình, tính giá trị của biêu thức đối xứng giữa các nghiệm
Phương pháp giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
a 0
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm:
. Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
0
S x1 x2
c
b
và P x1.x2 .
a
a
Bước 2. Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng x1 + x2 và tích x1x2
sau đó áp dụng Bước 1.
Chú ý: Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm thường gặp là:
A x12 x22 ( x1 x2 ) 2 2×1 x2 S 2 2 P;
B x13 x23 ( x1 x2 )3 3×1 x2 ( x1 x2 ) S 3 3PS;
C x14 x24 ( x12 x22 ) 2 2×12 x22 ( S 2 2 P ) 2 2 P 2 ;
D x1 x2 ( x1 x2 ) 2 4×1 x2 S 2 4 P .
1.1. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 – 5x + 3 = 0. Không giải phương trình, hãy tính giá
trị của các biểu thức:
a) A x12 x22 ;
b) B x13 x23 ;
1.2 .Cho phưoug trình: -3×2 – 5x-2 = 0. Với x1,x2 là nghiệm của phương trình, không giải phương
trình, hãy tính:
a) M x1
c) P
1 1
x2 ;
x1 x2
x1 3 x2 3
2 ;
x12
x2
b) N
1
1
;
x1 3 x2 3
d) Q
x1
x
2 .
x2 2 x1 2
2.1.Cho phương trình x2 – 2(m – 2)x + 2m -5 = 0 (ra là tham số).
a) Tìm điều kiện của ra để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2.
b) Với ra tìm được ở trên, tìm biểu thức liên hệ giữa x1,x2 không phụ thuộc vào ra.
2.2. Cho phương trình x2 +(m + 2)x + 2m = 0. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình có
hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 ? Khi đó, hãy tìm biểu thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào
ra.
Dạng 2. Giải phương trình bằng cách nhấm nghiệm
Phương pháp giải: Sử dụng ứng dụng của hệ thức Vi-ét.
3.1. Xét tổng a + b + c hoặc a – b + c rồi tính nhẩm các nghiệm của các phương trình sau:
a) 15×2 -17x + 2 = 0;
b) 1230×2 – 4x – 1234 = 0;
c) (2 d)
3 )x2 + 2 3 x – (2 +
5x 2 – (2 –
3 ) = 0;
5 )x – 2 = 0.
3.2. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 7×2 -9x + 2 = 0;
c) 1975×2 + 4x – 1979 = 0;
b) 23×2 -9x-32 = 0;
d) 31, 1×2 – 50,9x + 19,8 = 0.
4.1. Cho phương trình (ra – 2)x2 – (2m + 5)x + ra + 7 = 0 với tham số ra.
a) Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
b) Tìm các nghiệm của phương trình đã cho theo tham số ra.
4.2. Cho phương trình (2m – 1)x2 + (m – 3)x – 6m – 2 = 0.
a) Chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm x = -2.
b) Tìm các nghiệm của phương trình đã cho theo tham số ra.
5.1. Cho phương trình mx2 -3(m + l)x + m2 – 13m – 4 = 0 (ra là tham số). Tìm các giá trị của ra
để phương trình có một nghiệm là x = -2. Tìm nghiệm còn lại.
5.2. Tìm giá trị của tham số ra để phương trình x2 +3mx – 108 = 0 (ra là tham số) có một nghiệm
là 6. Tìm nghiệm còn lại.
Dạng 3. Tìm hai số khi biết tổng và tích
Phương pháp giải: Để tìm hai số x, y khi biết tổng S = x + y và tích P = x.y, ta làm như sau:
Bước 1. Giải phương trình X2 – S X + P = 0 để tìm các nghiệm X1,X2.
Bước 2. Khi đó các số x, y cần tìm là x = X1,y = X2 hoặc x = X2, y = X1.
6.1. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
b) u2 + v2 = 13,uv = 6.
a) u + v = 15,uv = 36;
6.2. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 4,uv = 7;
b) u + v = -12,uv – 20.
7.1. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2 +
3 và 2 –
3.
7.2. Tìm phương trình bậc hai biết nó nhận 7 và -11 là nghiệm.
8.1.Cho phương trình x2 + 5x – 3m = 0 (m là tham số).
a) Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm là x1 và x2.
b) Với điều kiện m tìm được ở câu a), hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là
2
và
x12
2
.
x22
8.2. Cho phương trình 3×2 +5x – m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có hai
nghiệm là x1 và x2 ? Khi đó, hãy viết phương trình bậc hai có hai nghiệm là
x1
x2
và
.
x2 1
x1 1
Dạng 4. Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử
Phương pháp giải: Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1; x2 thì tam
thức được phân tích thành nhân tử:
ax2 + bx + c – a(x – x1 )(x – x2).
9.1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – 7x + 6;
c) x – 5 x + 6;
b) 30×2 – 4x – 34;
d) 2x – 5 x + 3.
9.2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4×2 – 5x +1;
c)4x – 7 x +3;
b) 21×2 – 5x – 26;
d) 12x- 5 x -7.
Dạng 5. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp giải: Xét phương trình ax2 +bx + c – 0 ( a ≠ 0 ) . Khi đó: 1. Phương trình có hai
nghiệm trái dấu p < 0.
0
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
.
P 0
0
3. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt P 0.
S 0
0
4. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt P 0.
S 0
5. Phương trình có hai nghiệm trái dâ’u mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương
P 0
.
S 0
Chú ý: Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ > 0; Phương trình có hai nghiệm ∆ > 0.
10.1. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:
a) x2 -2(m – 1)x + ra +1 = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu;
b) x2 – 8x + 2m + 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt;
c) x2 – 2(m – 3)x + 8 – 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt âm;
d) x2 – 6x + 2m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dương;
e) x2 – 2(m- 1)x – 3 – ra = 0 có đúng một nghiệm dương.
10.2.Tìm các giá trị của tham số ra để phương trình:
a) 2xz – 3(m + 1)x + m2 – ra – 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu;
b) 3mx2 + 2(2m +l)x + m = 0 có hai nghiệm âm;
c) x2 + mx+m – 1 = 0 có hai nghiệm lớn hơn m;
d) mx2 – 2(m – 2)x+ 3(ra – 2)= 0 có hai nghiệm cùng dâu.
Dạng 6. Xác định điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn hệ
thức cho trước
Phương pháp giải: Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ∆ ≥ 0.
Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.
Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở Bước 1 hay không rồi kết
luận.
11.1. Cho phương trình x2 – 5x + m + 4 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có 2
nghiệm phân biệt x1, x2 thòa mãn:
a) |x1| + |x2| = 4;
c)
b)3×1 + 4×2=6;
x1 x2
3; = -3;
x2 x1
d) x1(1 – 3x ) + x (1 – 3×1) = m2 – 23.
11.2. Cho phuơng trình x2 -mx-m-1 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của tham số m để
phương trình:
a) Có một nghiệm bằng 5. Tìm nghiệm còn lại.
b) Có hai nghiệm âm phân biệt;
c) Có hai nghiệm trái dấu, trong đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương;
d) Có hai nghiệm cùng dấu;
e) Có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: x13 x23 1;
g) Có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: |x1 -x,| ≥ 3.
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ
12. Cho phương trình: -3×2 + x + l = 0. Với x1, x2 là nghiệm của phương trình, không giải
phương trình, hãy tính:
2
2
x22 ;
x1
x2
b) B
2
2
;
x1 3 x2 3
2 x1 5 2 x2 5
;
x1
x2
d) D
x1 1 x2 1
4 .
x14
x2
a) A x12
c) B
13. Tính nhẩm các nghiệm của các phương trình:
a) 16x – 17x + l = 0;
c) 2×2 – 40x + 38 = 0;
b) 2×2 – 4x – 6 = 0;
d) 1230×2 -5x – 1235 = 0.
14. Tìm hai số u, v biết rằng:
a) u + v = -8, uv = -105;
b) u + v = 9, uv = -90.
15. Cho phương trình x2+ (4m + 1)x + 2(m – 4) = 0. Tìm giá trị của tham số ra để phương trình
có hai nghiệm x1, x2 và:
a) Thoả mãn điều kiện x 2 – x1 =17;
b) Biểu thức A = (x 1 – x 2 )2 có giá trị nhỏ nhất;
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ vào ra.
16. Cho phương trình bậc hai: (m + 2)x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0. Tìm các giá trị của tham số ra
để phương trình:
a) Có 2 nghiệm trái dấu;
b) Có 2 nghiệm dương phân biệt;
c) Có 2 nghiệm trái dấu trong đó nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm;
d) Có 2 nghiệm x1,x 2 thỏa mãn: 3(x 1 +x 2 ) = 5x 1 ,x 2 .
17. Cho phương trình: x2 – (2m + l)x + m2 + m – 6 = 0 (ra là tham số).
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm các giá trị của tham số ra để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.
c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x12 x22 .
d) Tìm các giá trị của ra để phương trình có 2 nghiệm x 1 ,x 2 thỏa mãn:
x13 x23 19.
18. Cho phương trình: x2 – 2 (m – 2)x + 2m – 5 = 0 (ra là tham số).
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi ra.
b) Gọi x 1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trình. Tìm ra để x 1 ,x 2 thỏa mãn: x 1 (1 – x 2 ) + x2 (1 – x1)
< 4.
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
1.1 Ta có 13 0 PT đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
x1 x2 5
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có
x1.x2 3
a) Ta có A x12 x22 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 52 2.3 19
b) Ta có C x13 x23 ( x1 x2 )3 3 x1 x2 ( x1 x2 ) 80
c) Ta có D
x14 x24 ( x12 x22 ) 2 2( x1 x2 ) 2 343
1 1
x14 x24 x1.x2 4
( x1 x2 ) 4
81
d) Ta có E x1 x2
x1 x2
2
4 x1 x2 13
1.2 Tương tự 1.1
a) Ta có M
c) Ta có P
25
6
b) Ta có N
49
4
13
14
d) Ta có Q
17
12
2.1 a) Ta có ‘ (m 3) 2 0, m
Phương trình có hai nghiệm x1, x2 với mọi m
x1 x2 2m 4
b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có
x1.x1 2m 5
Biểu thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 x1 x2 1
2.2 Tương tự 2.1
Phương trình có hai nghiệm x1 x2 với mọi m
Biểu thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m là: 2 x1 x2 x1 x2 4
3.1
a) Ta có a b c 15 17 2 0 x1 1, x2
b) Ta có a b c 0 x1 1, x2
2
15
1234
1230
c) Ta có a b c 0 x1 1, x2 7 4 3
d) Ta có a b c 0 x1 1, x2
2
5
3.2 Tương tự 3.1
a) Ta có x1 1, x2
2
7
c) Ta có x1 1, x2
4.1
1979
1975
b) Ta có x1 1, x2
32
23
d) Ta có x1 1, x2
198
311
a) Ta thấy a b c ( m 2) (2m 5) m 7 0 Phương trình luôn có nghiệm x = 1 không
phụ thuộc vào m.
b) Với m = 2: Phương trình chỉ có nghiệm x = 1.
Với m 2 : Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x
m7
m2
4.2
a) Thay x = -2 vào phương trình đã cho, ta có 2m 1 2 m 3 2 6m 2 0 (luôn
2
đúng) ĐPCM.
b) Với m
Với m
1
: Phương trình chỉ có nghiệm x = -2.
2
1
3m 1
: Phương trình có hai nghiệm x 2;
2m 1
2
5.1
Thay x = -2 vào phương trình ta tìm được m = 1 hoặc m = 2
x 8
* Với m = 1, ta có: x 2 6 x 16 0
x 2
13
x
* Với m = 2, ta có: 2 x 9 x 26 0
2
x 2
2
5.2
Tương tự 5.1 Tính được m = 4; x2 = -18.
6.1
a) Ta có u , v là hai nghiệm của phương trình sau
X 12
X 2 15 X 36 0
(u, v) 12;3 , 3;12
X 3
u v 5
2
b) Ta có u v u 2 v 2 2uv 13 2.6 25
u v 5
* Với u v 5 ta có u , v là hai nghiệm của phương trình sau:
X 2
X 2 5X 6 0
X 3
Vậy u, v 2;3 , 3; 2 , 2; 3 , 3; 2
6.2 Tương tự 6.1
a) Không tồn tại u , v thỏa mãn vì 42 – 4.7 = -12 < 0.
b) Tìm được u, v 2; 10 , 10; 2
7.1
Ta có 2 3 2 3 4 và 2 3 2 3 1
Do đó 2 3 và 2 3 là nghiệm của phương trình sau: X2 – 4X + 1 = 0
7.2
Tương tự 7.1 Tìm được phương trình X2 + 4X -77 = 0.
8.1
a) Ta có 25 12m 0 . Tìm được m
25
12
2
2
2 2 2 x1 x2 50 12m
b) Ta có S 2 2
2
x1 x2
9m 2
x1 x2
Và P
2 2
4
9
25
2
2
. Với ĐK 0 m
thì ta có 2 và 2 là hai nghiệm của phương
. 2
2
2
2
x1 x2 x1 x2
x1
x2
9m
12
trình bậc hai X 2
50 12
4
X
0 ha : 9m 2 X 2 2(6m 25) X 4 0.
2
9m
9m 2
8.2 Tương tự 8.1
Điều kiện m
2 m
25
10 6m
m
. Phương trình tìm được là X 2
X
0 (Điều kiện:
12
3m 6
m2
25
)
12
9.1
a) Ta có x2 – 7x + 6 = (x – 1) (x – 6)
17
b) Ta có 30×2 – 4x – 34 = 30 x 1 x
15
c) Ta có x 5 x 6
d) Ta có 2 x 5 x 3 2
x 2
x 3
3
x 1 x
2
9.2 Tương tự 9.1
1
a) Ta có 4 x 2 5 x 1 4 x 1 x
4
26
b) Ta có 21x 2 5 x 26 21 x 1 x
21
c) Ta có 4 x 7 x 3 4
d) Ta có 12 x 5 x 7 12
3
x 1 x
4
7
x 1 x
12
10.1
a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ac 0 m 1
b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
82 4(2m 6) 0 m 5
c) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng âm
4 m 2 8m 4 0
0
m 2
S 0 2(m 3) 0
m 1
P 0
8 4m 0
d) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dương
0
32 8m 0
1
S 0 6 0
m4
2
P 0
2m 1 0
e) Vì (m 1) 2 4(3 m) (2m 1) 2 15 0, m
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình có dungd 1 nghiệm dương ac 3 m 0 . Tìm được m 3
10.2 Tương tự 10.1
m 0
b) Tìm được
m 2 3
a) Tìm được 1 m 2
c) Tìm được m 1
d) Tìm được 1 m 0
11.1
Ta có 52 4(m 4) 9 4m
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 m
9
4
x1 x2 5
Theo hệ thức Vi-ét ta có
x1.x2 m 4
a) ta có x1 x2 4 x1 x2 2 x1 x2 2 x1 x2 16
2
2 m 4 2m 1 . Tìm được m .
b) Ta có 3×1 4 x2 6 3( x1 x2 ) x2 6 x2 9
Vì x = -9 là nghiệm của phương trình nên ta có 9 5. 9 m 4 0 . Tìm được m 3 13
2
11.2 Tương tự 10.1 và 11.1
m 4
a) Tìm được
x2 1
m 1
b) Tìm được
x2 2
c) Tìm được 1 m 0
m 1
d) Tìm được
x2 2
3) Tìm được m 1
m 1
g) Tìm được
m 5
12. Tương tự 1.1
a) Ta có A
11
9
b) Ta có B
c) Ta có C 9
16
87
d) Ta có D 41
13. Tương tự 3.1
a) Ta có x 1 1, x2
1
16
c) Ta có x 1 1, x2 19
b) Ta có x 1 1, x2 3
d) Ta có x 1 1, x2
14. Tương tự 6.1
a) Tìm được u, v 7; 15 , 15;7
b) Tìm được u, v 15; 6 , 6;15
15. a) Tìm được m 4
b) Ta có Amin 33 m 0
247
246
c) Ta có hệ thức x1 x2 2 x1 x2 17
16. Tương tự 10.1
a) Tìm được 2 m 4
m
b) Tìm được 9
m 2
4
c) Tìm được 2 m 1
d) Tìm được m
17. Tương tự 10.1 và 11.1.
a) ta có 25 0, m
c) Ta có Amin
25
1
m
2
2
b) Tìm được m 3
m 1
d) Tìm được
m 0
18. a) Ta có 4(m 3) 2 0, m
b) Tìm được m > 1
B.NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY
Bài 1. Cho phương trình x 2 2mx m 4 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x13 x23 26m
b) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.
Bài 2. Cho phương trình bậc hai x 2 2 x m 2 0 . Tìm m để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện x12 x22 8
b) Có đúng một nghiệm dương.
Bài 3. Cho phương trình mx 2 2 m 1 x m 3 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn: x12 x22 3
Bài 4. Cho phương trình bậc hai x 2 2 m 1 x 2m 10 0 với m là tham số thực
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2
b) Tìm m để biểu thức P 6 x1 x2 x12 x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 5. Cho phương trình bậc hai x 2 2m m 2 x m2 7 0 (1). ( m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m 1
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: x1 x2 2 x1 x2 4
Bài 6. Cho phương trình x 2 2mx 1 0 (ẩn x )
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương
b) Gọi x1 ; x2 x1 x2 là hai nghiệm dương của phương trình
Tính P x1 x2 theo m và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q x1 x2
2
x1 x2
Bài 7. Cho phương trình x 2 2 m 1 x 2m 5 0 (1)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.
b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm dương của phương trình (1). Tìm m nguyên dương để
2
2
x x
A 1 2 có giá trị nguyên.
x2 x1
Bài 8. Cho phương trình ax 2 bx c 0 (1) và cx 2 bx a 0 (2) (với a c 0 )
a) Chứng minh rằng phương trình (1) và (2) cùng có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm
b) Với giả thiết phương trình (1) có nghiệm x1 ; x2 và phương trình (2) có nghiệm là: x1 ; x2 và
x1 x2 x1 x2 . Chứng minh rằng b 0
c) Trong trường hợp phương trình (1) và (2) đều vô nghiệm, chứng minh rằng b a c
Bài 9. Cho p là số tự nhiên khác 0. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2 5 px 1 0 ;
x3 ; x4 là hai nghiệm của phương trình x 2 4 px 1 0 . Chứng minh rằng tích
x1 x3 x2 x3 x1 x4 x2 x4
là một số chính phương.
Bài 10. Tìm m để phương trình m 1 x 2 3mx 4m 0 có nghiệm dương
Bài 11. Cho phương trình: 2 x 2 2mx m 2 2 0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm
b) Gọi hai nghiệm của phương trình trên là x1 ; x2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A 2 x1 x2 x1 x2 4
Bài 12. Cho phương trình ax 2 bx c 0 a 0 có hai nghiệm thuộc đoạn 0; 2 .Tìm giá trị
8a 2 6ab b 2
lớn nhất của biểu thức P 2
4a 2ab ac
Bài 13. Cho phương trình x 2 x 2 x 4m 1 x 8m 2 0 ( x là ẩn số).
Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện: x12 x22 x32 11
Bài 14. Cho phương trình: x 2 2 m 1 x 2m2 3m 1 0 , với m là tham số (1).
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 0 m 1 .
b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1).
i. Chứng minh x1 x2 x1 x2
9
.
8
ii. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu thỏa mãn x1 x2 1 .
Bài 15. Cho phương trình m 2 5 x 2 2mx 6m 0 (1) với m là tham số
a) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng khi đó tổng của
hai nghiệm không thể là số nguyên.
b) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện
x x
1 2
x1 x2
4
16 .
HƯỚNG DẪN
Bài 1. Cho phương trình x 2 2mx m 4 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x13 x23 26m
b) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.
Lời giải
2
1
3
a) Xét m 2 m 4 m 3 0 , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
2
4
m
Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình
x1 x2 2m
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1 x2 m 4
x12 x22 x1 x2 2 x1 x2 4m 2 2m 8
2
Ta có: x13 x23 26m x1 x2 x12 x1 x2 x22 26m
2m 4m 2 3m 12 26m
2m 4m 2 3m 1 0 m1 0; m2 1; m3
1
4
b) Vì x1.2 m nên điều kiện để phương trình có hai nghiệm nguyên:
m2 m 4
Đặt m2 m 4 k 2 k ′ 4m2 4m 16 4k 2
2m 1 15 2k 2k 2m 1 2k 2m 1 15
2
2
Từ đó ta có bảng sau:
2 k 2m 1 1
3
5
15
-1
-3
-5
-15
2k 2m 1 15
5
3
1
-15
-5
-3
-1
k
2
2
4
-4
Suy ra:
4
-4
-2
-4
m
4
1
0
-3
-3
0
1
4
Vậy với m 4;1;0; 3 thì phương trình có nghiệm nguyên
Bài 2. Cho phương trình bậc hai x 2 2 x m 2 0 . Tìm m để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện x12 x22 8
b) Có đúng một nghiệm dương.
Lời giải
a) Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 1 m 2 0 m 3
x1 x2 2
Theo hệ thức Vi-et, ta có:
x1 x2 m 2
x12 x22 x1 x2 2 x1 x2 4 2m 4 8 m 0 (thỏa mãn m 3 )
2
Vậy m 0 thì phương trình có 2 nghiệm x12 x22 8
b) Với m 3 thì phương trình luôn có nghiệm
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 x2 2 nên nếu 0 m 3 thì phương trình có nghiệm kép
là số dương
Nếu phương trình có hai nghiệm trái dấu thì phương trình cũng có một nghiệm dương
m 2 0 m 2
Vậy với m 3 hoặc m 2 thì phương trình có đúng một nghiệm dương
Bài 3. Cho phương trình mx 2 2 m 1 x m 3 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn: x12 x22 3
Lời giải
mx 2 2 m 1 x m 3 0
4 m 1 4m m 3 4m 2 8m 4 4m 2 12m 4m 4 0
2
m 1 và m 0
Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình: mx 2 2 m 1 x m 3 0
2 m 1
x1 x2
m
* Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
x x m 3
1 2
m
Ta có: x1 x2 x12 x22 2 x1 x2 3
2
4 m 1
m2
2
3
2 m 3
m
2 m 3
m
4m 2 8m 4
2m 6
3
2
m
m
4m 2 8m 4 5m 6
m
m2
4m 2 8m 4 5m 2 6m m 2 2m 4 0 m 1 5 m1 5 1 (thỏa mãn),
2
m2 5 1 (không thỏa mãn)
Vậy với m 5 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn: x12 x22 3
Bài 4. Cho phương trình bậc hai x 2 2 m 1 x 2m 10 0 với m là tham số thực
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2
b) Tìm m để biểu thức P 6 x1 x2 x12 x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải
a) 4 m 1 8m 40 4m 2 8m 4 8m 40 4m 2 36 0
2
m 3
m2 9 m 3
m 3
b) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình x 2 2 m 1 x 2m 10 0
x1 x2 2m 2
Áp dụng hệ thức Vi-ét:
x1 x2 2m 10
Ta có: P 6 x1 x2 x12 x22 x1 x2 4 x1 x2 4 m 1 4 2m 10
2
2
4m 2 8m 4 8m 40 4m 2 16m 44 4m 2 16m 16 28
4 m 2 28 4. 3 2 28 32
2
2
Vậy Pmax 32 khi và chỉ khi m 3
Bài 5. Cho phương trình bậc hai x 2 2m m 2 x m2 7 0 (1). ( m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m 1
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: x1 x2 2 x1 x2 4
Lời giải
a) Với m 1 , phương trình có dạng: x 2 6 x 8 0 . Giải ra ta được: x1 2; x2 4
b) Điều kiện để phương trình có nghiệm là: m2 m 2 m2 7 0 (*)
2
x1 x2 2m m 2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
2
x1 x2 m 7
Theo đề bài: x1 x2 2 x1 x2 4 m2 7 2.2.m m 2 4
1
3m 2 8m 3 0 m1 ; m2 3
3
1
Thử lại với điều kiện (*) thì m1 ; m2 3 không thỏa mãn
3
Vậy không tồn tại m thỏa mãn điều kiện đề bài
Bài 6. Cho phương trình x 2 2mx 1 0 (ẩn x )
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương
b) Gọi x1 ; x2 x1 x2 là hai nghiệm dương của phương trình
Tính P x1 x2 theo m và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q x1 x2
Lời giải
m 2 1 0
0
a) Phương trình có hai nghiệm dương x1 x2 0 2m 0 m 1
x x 0
1 0
1 2
Vậy m 1 thì phương trình có hai nghiệm dương
b) Với m 1 thì phương trình có hai nghiệm dương
x1 x2 2m
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x1 x2 1
Xét: P 2 x1 x2 2 x1 x2 2m 2 . Vì P 0 nên P 2m 2
Ta có: Q x1 x2
2
2
1
1
2m
m m 1 2 m. 3
x1 x2
2m
m
m
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q là 3 khi m 1
Bài 7. Cho phương trình x 2 2 m 1 x 2m 5 0 (1)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.
2
x1 x2
b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm dương của phương trình (1). Tìm m nguyên dương để
2
2
x x
A 1 2 có giá trị nguyên.
x2 x1
Lời giải
a) Phương trình có hai nghiệm dương
m 12 2m 5 0
m 2 4m 6 0
0
5
m 1
m
x1 x2 0 2 m 1 0
2
2m 5 0
5
x1 x2 0
m
2
x x2 2 m 1
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1
x1 x2 2m 5
2
2
2
2
x12 x22
x1 x2
x1 x2
Ta có: A 2
2
x2 x1
x2 x1
x1 x2
2
2
x1 x2 2
4 m 12
A
2 2
2 2
x1 x2
2m 5
A ′
4 m 1
2
2m 5
′ 2m 1
9
′ 2m 5 Ư(9)
2m 5
Vì m nguyên dương nên 2m 5 5 , suy ra:
2m 5
-3
-1
1
3
9
m
1
2
3
4
7
Vậy với m 1; 2;3; 4;7 thì A nhận giá trị nguyên
Bài 8. Cho phương trình ax 2 bx c 0 (1) và cx 2 bx a 0 (2) (với a c 0 )
a) Chứng minh rằng phương trình (1) và (2) cùng có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm
b) Với giả thiết phương trình (1) có nghiệm x1 ; x2 và phương trình (2) có nghiệm là: x1 ; x2 và
x1 x2 x1 x2 . Chứng minh rằng b 0
c) Trong trường hợp phương trình (1) và (2) đều vô nghiệm, chứng minh rằng b a c
Lời giải
a) Cả hai phương trình đều có: b 2 4ac , nên cả hai phương trình (1) và (2) cùng có nghiệm
hoặc cùng vô nghiệm
b) Trong trường hợp hai phương trình trên có nghiệm. Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x1 x2
b
b
; x1 x2
a
c
Xét: x1 x2 x1 x2
b b b a c
0 nên b 0
a c
ac
c) Trong trường hợp phương trình vô nghiệm, ta có: b 2 4ac 0 b 2 4ac
Mặt khác ta có: 4ac a c , nên:
2
b 2 a c b a c (vì a c 0, b 0 )
2
Bài 9. Cho p là số tự nhiên khác 0. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2 5 px 1 0 ;
x3 ; x4 là hai nghiệm của phương trình x 2 4 px 1 0 . Chứng minh rằng tích
x1 x3 x2 x3 x1 x4 x2 x4
là một số chính phương.
Lời giải
Ta có: x 2 5 px 1 0 1 ; x 2 4 px 1 0 2
Từ (1); (2) theo hệ thức vi-ét, ta có: x1 x2 5 p; x1 x2 1
x3 x4 4 p; x3 x4 1
x1 x3 x2 x3 x1 x4 x2 x4
x1 x3 x2 x4 x2 x3 x1 x4
x1 x2 x1 x4 x3 x2 x3 x4 x1 x2 x2 x4 x1 x3 x3 x4
x1 x4 x2 x3 x2 x4 x1 x3
x1 x2 x42 x12 x3 x4 x3 x4 x22 x1 x2 x32
x42 x12 x22 x32 (vì x1 x2 1; x3 x4 1 )
x42 2 x32 x12 2 x22
Mà 2 1 2 2 x1 x2 ; 2 1 2 2 x3 x4
Suy ra (*) x1 x2 x3 x4
2
2
25 p 2 16 p 2
3 p Điều phải chứng minh
2
Bài 10. Tìm m để phương trình m 1 x 2 3mx 4m 0 có nghiệm dương
Lời giải
Khi m 1 , phương trình trở thành: 3 x 4 0 x
4
0
3
Khi m 1 thì PT: m 1 x 2 3mx 4m 0 (1) là phương trình bậc hai
Gọi S
3m
4m
là tổng và tích các nghiệm x1 ; x2 của phương trình (1)
;P
m 1
m 1
Phương trình (1) có nghiệm dương trong các trường hợp sau:
0 x1 x2 , khi đó 0, P 0, S 0 . Suy ra hệ vô nghiệm
x1 0 x2 , khi đó P 0
4m
0 1 m 0
m 1
0 x1 x2 , khi đó 0, S 0, P 0 . Suy ra
Đáp số:
16
m 1
7
16
m 1
7
Bài 11. Cho phương trình: 2 x 2 2mx m 2 2 0
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm
b) Gọi hai nghiệm của phương trình trên là x1 ; x2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A 2 x1 x2 x1 x2 4
Lời giải
a) 2 x 2 2mx m 2 2 0
Xét 4m 2 4.2 m 2 2 4m 2 8m 2 16 4m 2 16
Phương trình có 2 nghiệm 0 4m 2 16 m 2 4 2 m 2
b) A x1 x2 2 x1 x2 4
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1 x2 m; 2 x1 x2 m 2 2
A m m 2 2 4 m 2 3 m
Vì m 2; 2 nên m 2 0 và m 3 0
2
1
25 25
Do đó A m 2 3 m m m 6 m
2
4
4
2
Vậy giá trị lớn nhất của A là
25
1
, đạt được khi và chỉ khi m
4
2
Bài 12. Cho phương trình ax 2 bx c 0 a 0 có hai nghiệm thuộc đoạn 0; 2 .
8a 2 6ab b 2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2
4a 2ab ac
Lời giải
Gọi x1 , x2 x1 x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho
b
x1 x2 a
Theo định lí Vi-ét ta có:
x x c
1 2 a
2
b b
86
2
2
2
8 6 x1 x2 x1 x2
8a 6ab b
a a
Khi đó P 2
b c
4 2 x1 x2 x1 x2
4a 2ab ac
42
a a
Do 0 x1 x2 2 x12 x1 x2 , x22 4 x12 x22 x1 x2 4
x1 x2 3 x1 x2 4
2
Vậy P
8 6 x1 x2 3×1 x2 4
4 2 x1 x2 x1 x2
3
Đẳng thức xảy ra khi x1 x2 2 hoặc x1 0, x2 2
b
b
a 4
b 2a
2
c b 4a hoặc a
c 0
c 4
c 0
a
b 2a
Vậy, Pmax 3 c b 4a hoặc
c 0
Bài 13. Cho phương trình x 2 x 2 x 4m 1 x 8m 2 0 ( x là ẩn số).
Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện: x12 x22 x32 11
Lời giải
Ta có: x 2 x 2 x 4m 1 x 8m 2 0
1
x 2 x 2 x 4m 1 x 2 4m 1 0
x 2
x 2 x 2 x 4m 1 0 2
x x 4m 1 0
2
Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2
3
m
1
4
4
m
1
0
16
2
2 2 4m 1 0
m 3
4
Khi đó x1 , x2 là nghiệm của phương trình (2), theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x1 x2 1
x1 x2 4m 1
Ta có: x12 x22 x32 11 x1 x2 2 x1 x2 x32 11
2
Suy ra: 1 2 4m 1 4 11 m 1 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy với m 1 thì phương trình có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện:
x12 x22 x32 11
Bài 14. Cho phương trình: x 2 2 m 1 x 2m2 3m 1 0 , với m là tham số (1).
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 0 m 1 .
b) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1).
i. Chứng minh x1 x2 x1 x2
9
.
8
ii. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu thỏa mãn x1 x2 1 .
Lời giải
a) x 2 2 m 1 x 2m2 3m 1 0 , với m là tham số (1)
Có m 1 2m2 3m 1 m2 m
2
Phương trình (1) có nghiệm m2 m 0 m m 1 0
m 0
m 1 0
m 0
m 1 0
m 0
m 1
0 m 1
m 0
VN
m 1
b) Với 0 m 1 thì phương trình có hai nghiệm x1 , x2
x1 x2 2 m 1
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
2
x1 x2 2m 3m 1
i. Ta có: x1 x2 x1 x2 2 m 1 2m1 3m 1
2m 2 m 1 2m 1 m 1
m 1 0
m 1 2m 1 0
Vì 0 m 1 nên
2m 1 0
2
1 9 9
Suy ra x1 x2 x1 x2 2m m 1 2 m
4 8 8
2
Dấu bằng xảy ra khi m
1
9
(thỏa mãn điều kiện). Vậy x1 x2 x1 x2
4
8
ii. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu
x1 x2 0 2m 2 3m 1 0 m 1 2m 1 0
1
m 1
2
Ta có x1 x2 1 x1 x2 1 x1 x2 4 x1 x2 1
2
2
4 m 1 4 2m 2 3m 1 1 2m 1 0 m
2
2
1
(không thỏa mãn)
2
Vậy không tồn tại m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu thỏa mãn x1 x2 1
Bài 15. Cho phương trình m 2 5 x 2 2mx 6m 0 (1) với m là tham số
a) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng khi đó tổng của
hai nghiệm không thể là số nguyên.
b) Tìm m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện
x x
1 2
x1 x2
4
16 .
Lời giải
a) m 2 5 0 với mọi m nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
2
1 719
m 6 m m 5 0 6 m m
0m0
12 144
2
2
Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 x2
2m
m2 5
Vì m 2 5 2m m 1 4 0 m 2 5 2m 0
2
2m
1 (do m 0 )
m2 5
b) m 2 5 0 với mọi m nên phương trình (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi
2
1 719
m 2 6 m m 2 5 0 6 m m
0m0
12 144
2m
x1 x2 m 2 5
Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có:
x x 6m
1 2 m 2 5
x x
1 2
x1 x2
4
x1 x2 x1 x2 2
16
x1 x2 x1 x2 2
Trường hợp 1. Xét x1 x2 x1 x2 2
6m
2m
2
2
m 5
m2 5
2m
6m
2
2 (vô nghiệm vì m 0 )
2
m 5 m 5
Trường hợp 2. Xét x1 x2 x1 x2 2
2m
6m
. Đặt t
2 2
2
m 5
m 5
2m
6m
2
2
m 5
m2 5
2m
0
m2 5
t 1 ktm
Ta có: t 2 3t 2
t tm
3
2
2
t
3
m 2
2m
2
2
2m 9m 10 0
(thỏa mãn m 0 )
m 5
m2 5 3
2
5
Vậy với m 2; thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện
2
x x
1 2
x1 x2
4
16
C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Câu 1. Chọn phát biểu đúng. Phương trình ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0) có hai
nghiệm x1; x 2 . Khi đó:
ìï
ïïx + x = – b
1
2
a.
A. ïí
ïï
c
ïïx 1.x 2 =
a
ïî
ìï
ïïx + x = b
1
2
a.
B. ïí
ïï
c
ïïx 1.x 2 =
a
ïî
ìï
ïïx + x = b
1
2
a.
C. ïí
ïï
c
ïïx 1.x 2 = a
ïî
ìï
ïïx + x = b
1
2
a.
D. ïí
ïï
c
ïïx 1.x 2 = a
ïî
Câu 2. Chọn phát biểu đúng. Phương trình ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0) có a – b + c = 0 . Khi đó:
A. Phương trình có một nghiệm x1 = 1 , nghiệm kia là x 2 =
c
.
a
B. Phương trình có một nghiệm x 1 = -1 , nghiệm kia là x 2 =
c
.
a
c
C. . Phương trình có một nghiệm x 1 = -1 , nghiệm kia là x 2 = – .
a
c
D. Phương trình có một nghiệm x1 = 1 , nghiệm kia là x 2 = – .
a
Câu 3. Chọn phát biểu đúng. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có a + b + c = 0 . Khi đó:
A. Phương trình có một nghiệm x1 = 1 , nghiệm kia là x 2 =
c
.
a
B. Phương trình có một nghiệm x 1 = -1 , nghiệm kia là x 2 =
c
.
a
c
C. Phương trình có một nghiệm x 1 = -1 , nghiệm kia là x 2 = – .
a
c
D. Phương trình có một nghiệm x1 = 1 , nghiệm kia là x 2 = – .
a
Câu 4. Cho hai số có tổng là S và tích là P với S 2 ³ 4P . Khi đó hai số đó là nghiệm của phương
trình nào dưới đây?
A. X 2 – PX + S = 0 .B. X 2 – SX + P = 0 .
X 2 – 2SX + P = 0 .
C.
SX 2 – X + P = 0 .D.
Câu 5. Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình x 2 – 6x + 7 = 0
.
A.
1
.
6
B. 3 .
C. 6 .
D. 7 .
Câu 6. Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình
-3x 2 + 5x + 1 = 0 .
5
A. – .
6
B.
5
.
6
5
C. – .
3
D.
5
.
3
Câu 7. Gọi x1; x 2 là nghiệm của phương trình x 2 – 5x + 2 = 0 . Không giải phương trình tính giá
trị của biểu thức A = x 12 + x 22 .
A. 20 .
B. 21 .
C. 22 .
D. 22 .
Câu 8. Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình 2 x 2 6 x 1 0 . Không giải phương trình tính giá
trị của biểu thức N
1
1
x1 3 x2 3
A. 6 .
B. 2 .
C. 5 .
D. 4 .
Câu 9. Gọi x1; x 2 là nghiệm của phương trình -x 2 – 4x + 6 = 0 . Không giải phương trình tính
giá trị của biểu thức N =
A. -2 .
1
1
.
+
x1 + 2 x 2 + 2
B. 1 .
C. 0 .
D. 4 .
Câu 10. Gọi x1; x 2 là nghiệm của phương trình x 2 – 20x – 17 = 0 . Không giải phương trình tính
giá trị của biểu thức C = x 13 + x 23 .
A. 9000 .
B. 2090 .
C. 2090 .
D. 9020 .
Câu 11. Gọi x1; x 2 là nghiệm của phương trình 2x 2 – 18x + 15 = 0 . Không giải phương trình tính
giá trị của biểu thức C = x 13 + x 23 .
A. 1053 .
B.
1053
.
2
C. 729 .
D.
1053
.
3
Câu 12. Biết rằng phương trình (m – 2)x 2 – (2m + 5)x + m + 7 = 0 luôn có nghiệm x1; x 2 với
mọi m . Tính x1; x 2 theo m .
A. x 1 = -1; x 2 = C. x 1 = 1; x 2 =
m +7
.
m -2
m +7
.
m -2
B. x 1 = 1; x 2 = –
m +7
.
m -2
D. x 1 = -1; x 2 =
m +7
.
m -2
Câu 13. Biết rằng phương trình mx 2 + (3m – 1)x + 2m – 1 = 0(m ¹ 0)
luôn có nghiệm x1; x 2 với mọi m . Tính x1; x 2 theo m .
A.
x 1 = -1; x 2 =
x 1 = -1; x 2 =
1 – 2m
2m – 1
.B. x 1 = 1; x 2 =
.
m
m
x 1 = 1; x 2 =
C.
1 – 2m
.D.
m
2m – 1
.
m
Câu 14. Tìm hai nghiệm của phương trình 18x 2 + 23x + 5 = 0 sau đó phân tích đa thức
A : 18x 2 + 23x + 5 = 0 sau thành nhân tử.
A. x 1 = -1; x 2 = C. x 1 = -1; x 2 =
æ
æ
5
5ö
5
5ö
; A = 18(x + 1)ççx + ÷÷÷ .B. x 1 = -1; x 2 = – ; A = (x + 1) ççx + ÷÷÷ .
çè
çè
18
18 ÷ø
18
18 ø÷
æ
æ
5
5ö
5
5ö
; A = 18(x + 1)çççx – ÷÷÷ .D. x 1 = 1; x 2 = – ; A = 18(x – 1) çççx + ÷÷÷ .
18
18 ø÷
18
18 ø÷
è
è
Câu 15. Tìm hai nghiệm của phương trình 5x 2 + 21x – 26 = 0 sau đó phân tích đa thức
B : 5x 2 + 21x – 26 = 0 thành nhân tử.
A. x 1 = 1; x 2 = –
æ
æ
26
26 ö
26
26 ö
; B = (x – 1)çççx + ÷÷÷ . B. x 1 = 1; x 2 = – ; B = 5.(x + 1) çççx – ÷÷÷ .
5
5 ÷ø
5
5 ÷ø
è
è
C. x 1 = 1; x 2 = –
æ
26
26 ö
; B = 5.(x – 1)ççx + ÷÷÷ .
çè
5
5 ø÷
D. x 1 = 1; x 2 =
æ
26
26 ö
; B = 5.(x – 1)ççx – ÷÷÷ .
çè
5
5 ÷ø
Câu 16. Tìm u – v biết rằng u + v = 15; uv = 36 và u > v .
A. 8 .
B. 12 .
C. 9 .
D. 10 .
Câu 17. Tìm u – 2v biết rằng u + v = 14; uv = 40 và u < v .
A. -6 .
B. 16 .
C. -16 .
D. 6 .
Câu 18. Lập phương trình nhận hai số 3 – 5 và 3 + 5 làm nghiệm.
A. x 2 – 6x – 4 = 0 . B. x 2 – 6x + 4 = 0 . C. x 2 + 6x + 4 = 0 . D. -x 2 – 6x + 4 = 0 .
Câu 19. Lập phương trình nhận hai số 2 + 7 và 2 – 7 làm nghiệm
A. x 2 4 x 3 0 .
B. x 2 3 x 4 0 .
C. x 2 4 x 3 0 .
D. x 2 4 x 3 0 .
Câu 20. Biết rằng phương trình x 2 (2a 1) x 4a 3 0 luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với mọi a .
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc a .
A. 2 x1 x2 x1 x2 5 .
B. 2 x1 x2 x1 x2 5 .
C. 2 x1 x2 x1 x2 5 .
D. 2 x1 x2 x1 x2 5 .
Câu 21. Biết rằng phương trình x 2 (m 5) x 3m 6 0 luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với mọi m .
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m .
A. 3 x1 x2 x1 x2 9 .B. 3 x1 x2 x1 x2 9 .
3 x1 x2 x1 x2 9 .D.
C.
x1 x2 x1 x2 1 .
Câu 22. Tìm giá trị của m để phương trình x 2 2 m 1 x m 2 0 có hai nghiệm trái dấu.
A. m 2 .
B. m 2 .
C. m 2 .
D. m 0 .
Câu 23. Tìm các giá trị của m để phương trình x 2 2 m 3 x 8 4m 0 có hai nghiệm âm phân
biệt.
A. m 2 và m 1.
B. m 3 .
C. m 2 .
D. m 0 .
Câu 24. Cho phương trình 3 x 2 7 x m 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
cùng âm.
A. m
49
.
12
B. m 0 .
C. 0 m
49
.
12
D. Một đáp án khác.
Câu 25. Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình x 2 6 x 2m 1 0 có hai nghiệm dương
phân biệt.
A. m 1;1; 2;3 .
B. m 1; 2;3 .
C. m 0;1; 2;3; 4 .
D. m 0;1; 2;3 .
Câu 26. Cho phương trình x 2 2m 1 x m2 2m 2 0 . Tìm m để phương trình có hai
nghiệm phân biệt cùng dương.
A.
1
7
m .
2
4
B. m
1
. C. Cả A và B đúng. D. Không có giá trị nào của m .
2
Câu 27. Tìm các giá trị của m để phương trình mx 2 2(m 2) x 3(m 2) 0 có hai nghiệm phân
biệt cùng dấu.
A. m 0 .
B. m 1 .
C. 1 m 0 .
D. m 0 .
Câu 28. Tìm các giá trị của m để phương trình x 2 mx m 1 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
x13 x23 1 .
A. m 1 .
B. m 1 .
C. m 0 .
D. m 1 .
Câu 29. Tìm các giá trị của m để phương trình x 2 5 x m 4 0 có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn
x12 x22 23 .
A. m 2 .
B. m 1 .
C. m 3 .
D. m 4 .
Câu 30. Giá trị nào dưới đây gần nhất với giá trị của m để phương trình x 2 3 x m 0 có hai
nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: 2 x1 3 x2 13 .
A. 416 .
B. 415 .
C. 414 .
D. 418 .
Câu 31. Cho phương trình x 2 2 x m 1 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa
mãn 3 x1 2 x2 1 .
A. m 34 .
B. m 34 .
C. m 35 .
D. m 35 .
Câu 32. Tìm giá trị của m để phương trình x 2 (4m 1) x 2(m 4) 0 có hai nghiệm x1 ; x2 và
biểu thức A ( x1 x2 ) 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
A. m 1 .
B. m 0 .
C. m 2 .
D. m 3 .
Câu 33. Cho phương trình x 2 2(m 4) x m 2 8 0 . Xác định m để phương trình có hai nghiệm
thỏa mãn x1 ; x2 . Thỏa mãn A x1 x2 3×1 x2 đạt giá trị lớn nhất.
A. m
1
.
3
B. m
1
.
3
C. m 3 .
D. m 3 .
Câu 34. Tìm giá trị của m để phương trình x 2 2(m 2) x 2m 5 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa
mãn x1 (1 x2 ) x2 (1 x1 ) 4 .
A. m 1 .
B. m 0 .
C. m 2 .
D. m 3 .
Câu 35. Tìm giá trị của m để phương trình x 2 2(m 1) x 4m 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
x1 ( x2 2) x2 ( x1 2) 6 .
A. m
1
.
6
1
B. m .
6
1
C. m .
6
D. m
1
.
6
Câu 36. Cho phương trình x 2 mx n 3 0 . Tìm m và n để hai nghiệm x1 ; x2 của phương trình
x1 x2 1
thỏa mãn hệ 2
2
x1 x2 7
A. m 7 ; n 15 .
B. m 7 ; n 15 .
C. m 7 ; n 15 .
D. m 7 ; n 15 .
Câu 37. Cho phương trình x 2 (2m 3) x m 2 3m 0 . Xác định m để phương trình có hai
nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn 1 x1 x2 6 .
A. m 6 .
B. m 4 .
C. 4 m 6 .
D. 4 m 6 .
HƯỚNG DẪN
Câu 1. Đáp án A.
Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0) .
ì
ï
b
ï
x1 + x 2 = ï
ï
a
Nếu x1, x 2 là hai nghiệm của phương trình thì í
ï
c
ï
x .x =
ï
ï 1 2 a
ï
î
Câu 2. Đáp án C.
+) Nếu phương trình
ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0)
nghiệm x1 = 1 , nghiệm kia là x 2 =
có a + b + c = 0 thì phương trình có một
c
.
a
+ ) Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một
c
nghiệm x 1 = -1 , nghiệm kia là x 2 = – .
a
Câu 3. Đáp án A.
+) Nếu phương trình
ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0)
nghiệm x1 = 1 , nghiệm kia là x 2 =
có a + b + c = 0 thì phương trình có một
c
.
a
+ ) Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một
c
nghiệm x 1 = -1 , nghiệm kia là x 2 = – .
a
Câu 4. Đáp án B.
Nếu hai số có tổng bằng S
và tích bằng P
thì hai số đó là hai nghiệm của phương
trình X 2 – SX + P = 0 (ĐK: S 2 ³ 4P )
Câu 5. Đáp án C.
Phương trình x 2 – 6x + 7 = 0 có D = (-6)2 – 4.1.7 = 8 > 0 nên phương trình có hai
nghiệm x1; x 2
Theo hệ thức Vi-et ta có x 1 + x 2 = –
-6
x1 + x 2 = 6
1
Câu 6. Đáp án D.
Phương trình -3x 2 + 5x + 1 = 0 có D = 52 – 4.1.(-3) = 37 > 0 nên phương trình có hai
nghiệm x1; x 2
Theo hệ thức Vi-et ta có x 1 + x 2 = –
5
5
x1 + x 2 = .
-3
3
Câu 7. Đáp án B.
Phương trình x 2 – 5x + 2 = 0 có D = (-5)2 – 4.1.2 = 17 > 0 nên phương trình có hai
nghiệm x1; x 2
ìï
b
ì
ïïx 1 + x 2 = ïx 1 + x 2 = 5
a ï
Theo hệ thức Vi-et ta có ïí
í
ï
ï
c
x .x = 2
ï
ï
î 1 2
=
x
x
.
ïï 1 2
a
ïî
Ta có
A = x 12 + x 22 = (x 1 + x 2 )2 – 2x 1x 2 = 52 – 2.2 = 21
Câu 8. Đáp án A.
Phương trình 2 x 2 6 x 1 0 có Δ (6) 2 4.(2).(1) 28 0 nên phương trình có hai
nghiệm x1 ; x2
ìï
ìx + x = -3
ïïx + x = – b
ï
2
ï 1
1
2
ï
a
Theo hệ thức Vi-et ta có í
ïí
1
ïï
ï
c
x 1.x 2 =
ï
=
x
x
.
ïï 1 2
2
ï
îï
a
ïî
Ta có N
x1 x2 6
3 6
1
1
6
x1 3 x2 3 x1 x2 3 x1 x2 9 1 3.(3) 9
2
Câu 9. Đáp án C.
Phương trình -x 2 – 4x + 6 = 0 có D = (-4)2 – 4.(-1).6 = 40 > 0 nên phương trình có hai
nghiệm x1; x 2
ìï
b
ìx + x = -4
ïïïx 1 + x 2 = ï
1
2
a ï
Theo hệ thức Vi-et ta có í
í
ïï
ïïx 1.x 2 = -6
c
î
ïïx 1.x 2 =
a
ïî
Ta có N =
x1 + x 2 + 4
-4 + 4
1
1
+
=
=
=0
x 1 + 2 x 2 + 2 x 1x 2 + 2 (x 1 + x 2 ) + 4 -6 + 2.(-4) + 4
Câu 10. Đáp án D.
Phương trình x 2 – 20x – 17 = 0 có D = 468 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x1; x 2
ìï
b
ìx + x = 20
ïïïx 1 + x 2 = ï
1
2
a ï
Theo hệ thức Vi-et ta có í
í
ï
ï
c
x .x = -17
ï
ï
î 1 2
ïïx 1.x 2 =
a
ïî
Ta có C = x 13 + x 23 = x 13 + 3x 12x 2 + 3x 1x 22 + x 23 – 3x 12x 2 – 3x 1x 22
= (x 1 + x 2 )3 – 3x 1x 2 (x 1 + x 2 ) = 203 – 3.(-17).20 = 9020 .
Câu 11. Đáp án B.
Phương trình 2x 2 – 18x + 15 = 0 có D ¢ = 61 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x1; x 2
ìï
ì
ïïx + x = – b
ï
ïx 1 + x 2 = 9
1
2
ï
a
Theo hệ thức Vi-et ta có í
ï
í
15
ï
ï
c
=
x
x
.
ï
ï
1
2
x .x =
ï
ï
2
ï
î
ïïî 1 2 a
Ta có C = x 13 + x 23 = (x 1 + x 2 )3 – 3x 1x 2 (x 1 + x 2 ) = 93 – 3.9.
Câu 12. Đáp án C.
15 1053
=
2
2
Phương trình (m – 2)x 2 – (2m + 5)x + m + 7 = 0 có a = m – 2;b = -2m – 5; c = m + 7
Vì a + b + c = m – 2 – 2m – 5 + m + 7 = 0 nên phương trình có hai
nghiệm x 1 = 1; x 2 =
m +7
.
m -2
Câu 13. Đáp án A.
Phương trình mx 2 + (3m – 1)x + 2m – 1 = 0(m ¹ 0) có a = m;b = 3m – 1; c = 2m – 1
Vì a – b + c = m – 3m + 1 + 2m – 1 = 0 nên phương trình có hai
nghiệm x 1 = -1; x 2 =
1 – 2m
.
m
Câu 14. Đáp án A.
Phương trình 18x 2 + 23x + 5 = 0 có a – b + c = 18 – 23 + 5 = 0 nên phương trình có hai
nghiệm phân biệt là x 1 = -1; x 2 = –
5
.
18
æ
5ö
Khi đó A = 18.(x + 1)çççx + ÷÷÷ .
18 ÷ø
è
Câu 15. Đáp án C.
Phương trình 5x 2 + 21x – 26 = 0 có a + b + c = 5 + 21 – 26 = 0 nên phương trình có hai
nghiệm phân biệt là x 1 = 1; x 2 = –
æ
26 ö
26
. Khi đó B = 5.(x – 1) ççx + ÷÷÷ .
çè
5 ÷ø
5
Câu 16. Đáp án C.
Ta có S = u + v = 15, P = uv = 36 . Nhận thấy S 2 = 225 > 144 = 4P nên u, v là hai
éx = 12
nghiệm của phương trình x 2 – 15x + 36 = 0 (x – 12)(x – 3) = 0 êê
êëx = 3
Vậy u = 12; v = 3 (vì u > v ) nên u – v = 12 – 3 = 9 .
Câu 17. Đáp án C.
Ta có S = u + v = 14, P = uv = 40 . Nhận thấy S 2 = 196 > 160 = 4P nên u, v là hai nghiệm
của phương trình
éx = 4
x 2 – 14x + 40 = 0 (x – 4)(x – 10) = 0 êê
êëx = 10
Vậy u = 4; v = 10 (vì u < v ) nên u – 2v = 4 – 2.10 = -16 .
Câu 18. Đáp án B.
(
)(
)
Ta có S = 3 – 5 + 3 + 5 = 6 và P = 3 – 5 3 + 5 = 4
Nhận thấy S 2 = 36 > 16 = 4P nên hai số 3 – 5 và 3 + 5 là nghiệm của phương
trình x 2 – 6x + 4 = 0 .
Câu 19. Đáp án A.
Ta có S 2 7 2 7 4 và P 2 7 2 7 22
7
2
4 7 3
Nhận thấy S 2 16 12 4 P nên hai số 2 + 7 và 2 – 7 là nghiệm của phương
trình x 2 4 x 3 0 .
Câu 20. Đáp án D.
ì2(x + x ) = 4a – 2
ïìx + x 2 = 2a – 1
ï
1
2
ï
2(x 1 + x 2 ) + x 1x 2 = -5
Theo Vi-ét ta có ïí 1
í
ïïx 1.x 2 = -4a – 3
ï
x 1.x 2 = -4a – 3
ï
î
î
Vậy hệ thức cần tìm là 2 x1 x2 x1 x2 5
Câu 21. Đáp án C.
x1 x2 m 5 3( x1 x2 ) 3m 15
Theo hệ thức Vi-ét ta có
x1.x2 3m 6
x1.x2 3m 6
3 x1 x2 x1 x2 3m 15 3m 6 9 . Vậy hệ thức cần tìm là 3 x1 x2 x1 x2 9 .
Câu 22. Đáp án B.
Phương trình x 2 2 m 1 x m 2 0 a 1; b 2 m 1 ; c m 2
Nên phương trình có hai nghiệm trái dấu khi ac 0 1. m 2 0 m 2 .
Vậy m 2 là giá trị cần tìm.
Câu 23. Đáp án A.
Phương trình x 2 2 m 3 x 8 4m 0
a 1; b m 3 ; c 8 4m .
Ta có Δ m 3 8 4m m 2 2m 1 m 1 ;
2
S x1 x2 2 m 3 ; P x1.x2 8 4m
2
0
Vì a 1 0 nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt P 0
S 0
(m 1) 2 0
m 1
m 1
2(m 3) 0 m 3
m 2 m 2
8 4m 0
Vậy m 2 và m 1 là giá trị cần tìm.
Câu 24. Đáp án C.
Phương trình 3x 2 7 x m 0 a 3; b 7; c m
Ta có Δ 7 2 4.3.m 49 12m Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình.
7
m
Theo hệ thức Vi-ét ta có S x1 x2 ; P x1.x2
3
3
Vì a 1 0 nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
0
P 0
S 0
49 12m 0
49
49
m
m
0
12 0 m
12
3
m 0
7
3 0 (luôn đúng )
Vậy 0 m
49
là giá trị cần tìm.
12
Câu 25. Đáp án D.
Phương trình x 2 6 x 2m 1 0 a 1; b 3; c 2m 1
Ta có Δ 9 2 m 1 8 2 m S x1 x2 6; P x1.x2 2m 1 .
0
Vì a 1 0 nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt P 0
S 0
8 2m 0
m 4
1
6 0
1 m 4 m m 0;1; 2;3
2
2m 1 0
m 2
Vậy m 0;1; 2;3 .
Câu 26. Đáp án D.
Phương trình x 2 (2m 1) x m 2 2m 2 0(a 1; b 2m 1; c m 2 2m 2) Ta
có Δ (2m 1) 2 4(m 2 2m 2) 4m 7
Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình, theo hệ thức Vi-ét ta có
S x1 x2 1 2m; P x1.x2 m 2 2m 2
0
Vì a 1 0 nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt P 0
S 0
7
m 4
7
4m 7 0
m
1
4 (vô lý )
1 2m 0
m
1
2
m 2 2m 2 0
m
(m 1) 2 1 0 (luôn đúng )
2
Vậy không có giá trị của m thỏa mãn đề bài.
Câu 27. Đáp án C.
Phương trình mx 2 2(m 2) x 3(m 2) 0 a m; b 2(m 2); c 3(m 2) Ta
có Δ (m 2) 2 3m(m 2) 2m 2 2m 4 (4 2m)(m 1)
P x1.x2
3(m 2)
m
a 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi 0
P 0
m0
m 0
m0
(4 2m)(m 1) 0
1 m 2 1 m 0
(4 2m)(m 1) 0
3(m 2)
3(m 2) 0
m2
m
0
m
m 0
Vậy 1 m 0 là giá trị cần tìm.
Câu 28. Đáp án B.
Phương trình x 2 mx m 1 0 có a 1 0 và Δ m 2 4 m 1 m 2 0; m nên
2
x1 x2 m
phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 Theo hệ thức Vi-ét ta có
x1.x2 m 1
Xét x13 x23 1
( x1 x2 )3 3×1 x2 ( x1 x2 ) 1 m3 3m(m 1) 1
m3 3m 2 3m 1 0 (m 1)3 0 m 1 .
Vậy m 1 là giá trị cần tìm.
Câu 29. Đáp án C.
Phương trình x 2 5 x m 4 0 có a 1 0 và Δ 25 4( m 4) 9 4m
Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khi
Δ 0 9 4m 0 m
9
4
x1 x2 m
Theo hệ thức Vi-ét ta có
x1.x2 m 4
Xét x12 x22 23 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 23 25 2m 8 23 m 3(TM )
Vậy m 3 là giá trị cần tìm.
Câu 30. Đáp án D.
Phương trình x 2 3 x m 0 có a 1 0 và Δ 9 4m
9
Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khi Δ 0 9 4m 0 m .
4
x1 x2 3 (1)
Theo hệ thức Vi-ét ta có
x1.x2 m (2)
Xét 2 x1 3 x2 13 x1
13 3 x2
thế vào phương trình (1) ta được
2
13 3 x2
x2 3 x2 19 x1 22
2
Từ đó phương trình (2) trở thành 19.22 m m 418 (nhận)
Vậy m 418 là giá trị cần tìm.
Câu 31. Đáp án A.
Phương trình x 2 2 x m 1 0 có a 1 0 và Δ 12 (m 1) 2 m
Phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 Δ 0 2 m 0 m 2.
Áp dụng định lý Vi – ét ta có: x1 x2 2 (1); x1 x2 m 1 (2) .
Theo đề bài ta có: 3×1 2 x2 1 (3)
x1 x2 2
2 x 2 x2 4 x1 5
1
Từ (1) và (3) ta có:
3 x1 2 x2 1 3×1 2 x2 1
x2 7
Thế vào (2) ta được: 5.( 7) m 1 m 34 (thỏa mãn)
Câu 32. Đáp án B.
Phương trình x 2 (4m 1) x 2(m 4) 0 có a 1 0 và
Δ (4m 1) 2 8(m 4) 16m 2 33 0; m
Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
x1 x2 4m 1
Theo hệ thức Vi-ét ta có
x1.x2 2m 8
Xét A x1 x2 x1 x2 4 x1 x2 16m 2 33 33
2
2
Dấu “=” xảy ra khi m 0
Vậy m 0 là giá trị cần tìm.
Câu 33. Đáp án A.
Phương trình x 2 2(m 4) x m 2 8 0 có a 1 0 và Δ (m 4) 2 (m 2 8) 8m 24
Phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 Δ 0 8m 24 0 m 3.
Áp dụng định lý Vi-ét ta có: x1 x2 2( m 4) ; x1 x2 m 2 8
Ta có: A x1 x2 3 x1 x2 2( m 4) 3(m 2 8) 3m 2 2m 32
2
2
32
1 97
.
3 m 2 m 3 m
3
3
3
3
Nhận thấy A
97
1
1
và dấu “=” xảy ra khi m 0 m TM
3
3
3
Vậy giá trị lớn nhất của A là
97
1
khi m .
3
3
Câu 34. Đáp án A.
Phương trình x 2 2(m 2) x 2m 5 0 có a 1 0 và
Δ (m 2) 2 2m 5 m 2 6m 9 (m 3) 2 0; m
Nên phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2
x1 x2 2m 4
Theo hệ thức Vi-ét ta có
x1.x2 2m 5
Xét x1 (1 x2 ) x2 (1 x1 ) 4 ( x1 x2 ) 2 x1 x2 4 0
2m 4 2(2m 5) 4 0 2m 2 0 m 1
Vậy m 1 là giá trị cần tìm.
Câu 35. Đáp án A.
Phương trình x 2 2(m 1) x 4m 0 có a 1 0 và
Δ (m 1) 2 4m m 2 2m 1 (m 1) 2 0; m
Nên phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 .
x1 x2 2(m 1)
Theo hệ thức Vi-ét ta có
x1.x2 4m
Xét
x1 ( x2 2) x2 ( x1 2) 6 2 x1 x2 2 x1 x2 6
8m 4(m 1) 6 0 12m 2 0 m
Vậy m
1
6
1
là giá trị cần tìm.
6
Câu 36. Đáp án C.
Δ m 2 4(n 3) m 2 4n 12 Phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 Δ 0 m 2 4n 12 0
Áp dụng định lý Vi – ét ta có: x1 x2 m ; x1 x2 n 3
2
x1 x2 1
x1 x 2 1
( x1 x2 ) 4 x1 x2 1
Ta có: 2
2
( x1 x2 )( x1 x2 ) 7
x1 x2 7
x1 x2 7
49 4 x1 x2 1 x1 x2 12
n 3 12 m 7
.
m 7
n 15
x1 x2 7
x1 x2 7
Thử lại ta có: Δ (7) 2 4.15 12 1 0 ™
Vậy m 7; n 15 .
Câu 37. Đáp án D.
Xét phương trình x 2 (2m 3) x m 2 3m 0 có a 1 0 và
Δ (2m 3) 2 4(m 2 3m) 9 0 m
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2
Áp dụng định lý Vi – ét ta có: x1 x2 2m 3 ; x1 x2 m 2 3m .
( x1 1)( x2 1) 0
x1 x2 ( x1 x2 ) 1 0
x x 1
x x 1
1 2
1 2
Ta có: 1 x1 x2 6
( x1 6)( x2 6) 0
x1 x2 6( x1 x2 ) 36 0
x1 x2 12
x1 x2 12
m 1
2
2
m 4
m 3m 2m 3 1 0
m 5m 4 0
m 2
2m 3 1
2m 4
m 6 4 m 6 .
2
2
m 3m 6(2m 3) 36 0
m 15m 54 0
m 9
2m 3 12
2 m 15
15
m
2
D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
PHIẾU SỐ 1
Dạng 1: Nhẩm nghiệm của PT bậc hai
Bài 1. Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm các phương trình sau:
a) x 2 2x 3 0
b) x 2 x 2 0
c) x 2 6x 5 0
2
d) 3x 7x 10 0
2
e) x 3x 4 0
2
f) x 4x 3 0
g) x 2 5x 6 0
h) 3x 2 5x 8 0
i) 5x 2 x 6 0
Dạng 2: Lập PT bậc hai có hai nghiệm cho trước
Bài 2. Lập các phương trình bậc hai có các nghiệm là các cặp số sau:
a) 3 và 4
d)
b) 5 và –8
3
2
và
4
3
e)
2 3 và
c) 3 và
1
4
2 3
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức theo hai nghiệm
2
Bài 3. Giả sử x1 , x 2 là các nghiệm của phương trình: x 2x 3 0
Tính giá trị của các biểu thức:
A x 12 x 22 ;
B x 13 x 32 ;
C
1
1
;
x1 x 2
D
x1 x 2
x 2 x1
Dạng 4: Tìm m để PT có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
Tìm ĐK để PT có nghiệm: 0
Sử dụng hệ thức Vi – ét tính tổng và tích các nghiệm theo m.
Thay tổng và tích các nghiệm vào hệ thức ban đầu để tìm m.
Bài 4: Cho phương trình x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để x12 + x 22 x1x 2 7 .
Bài 5: Cho phương trình: x 2 5x m 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình trên khi m = 6.
b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 x 2 3 .
Bài 6: Cho phương trình: x 2 2mx 4 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho khi m = 3.
b) Tìm giá trị của m để PT (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 1 x 2 1 2
2
Bài 7: Cho phương trình: x 2 2mx 1 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
b) Tìm các giá trị của m để: x12 x 2 2 x1x 2 7 .
Bài 8: Cho phương trình: x 2 x m 1 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho với m = 0.
b) Tìm m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x 2 thỏa mãn: x1x 2 (x1x 2 2) 3(x1 x 2 )
Bài 9: Cho phương trình x 2 6x m 0 .
1) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
2) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x 2 thoả mãn điều kiện x1 x 2 4 .
Bài 10: Cho phương trình: x 2 2(m 1) m 3 0 (1)
1) Giải phương trình với m = –3
2) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức x12 + x 22 10 .
3) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.
2
HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Nhẩm nghiệm của PT bậc hai
Bài 1. Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm các phương trình sau:
a) x 2 2x 3 0
b) x 2 x 2 0
c) x 2 6x 5 0
d) 3x 2 7x 10 0
e) x2 3x 4 0
f) x 2 4x 3 0
g) x 2 5x 6 0
h) 3x 2 5x 8 0
i) 5x 2 x 6 0
Lời giải:
a) x 2 2x 3 0
PT đã cho có a b c 1 2 3 0 nên có hai nghiệm phân biệt x1 1; x 2 3 .
b) x 2 x 2 0
PT đã cho có a b c 1 1 2 0 nên có hai nghiệm phân biệt x1 1; x 2 2 .
(Làm tương tự cho các phần còn lại)
Dạng 2: Lập PT bậc hai có hai nghiệm cho trước
Bài 2. Lập các phương trình bậc hai có các nghiệm là các cặp số sau:
a) 3 và 4
d)
b) 5 và –8
3
2
và
4
3
e)
2 3 và
c) 3 và
1
4
2 3
Lời giải:
3 4 7
nên 3 và 4 là hai nghiệm của PT: x 2 7x 12 0 .
a) Ta có
3.4 12
5 (8) 3
nên 5 và –8 là hai nghiệm của PT: x 2 3x 40 0 .
b) Ta có
5.(8) 40
(Làm tương tự cho các phần còn lại)
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức theo hai nghiệm
Bài 3. Giả sử x1 , x 2 là các nghiệm của phương trình: x 2 2x 3 0
Tính giá trị của các biểu thức:
A x 12 x 22 ;
B x 13 x 32 ;
C
1
1
;
x1 x 2
Hướng dẫn:
PT đã cho có ac 1.(3) 3 0 nên luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 .
x1 x 2 2
Theo ĐL Viét ta có:
x1x 2 3
D
x1 x 2
x 2 x1
Khi đó:
A x12 x 22 (x1 x 2 ) 2 2x1x 2 2 2 3 10
2
B x13 x 32 x1 x 2 x 12 x 2 2 x1 x 2 2 10 3 26
(Làm tương tự cho các phần còn lại)
Dạng 4: Tìm m để PT có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 4: Cho phương trình x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để x12 + x 22 x1x 2 7 .
Lời giải:
a) Ta thấy: a = 1; b = – 2m; c = – 1, rõ ràng: a.c = 1.(–1) = –1 < 0
phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
x x 2 2m
b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt nên theo hệ thức Vi – ét, ta có: 1
x 1 x 2 1
Khi đó: x12 x 22 x1x 2 7 x1 x 2 3x1x 2 7
2
(2m)2 – 3.(–1) = 7 4m2 = 4 m2 = 1 m = 1.
Bài 5: Cho phương trình: x2 – 5x + m = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình trên khi m = 6.
b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 x 2 3 .
Lời giải:
a) Với m = 6, ta có phương trình: x2 – 5x + 6 = 0
∆ = 25 – 4.6 = 1. Suy ra phương trình có hai nghiệm: x1 = 3; x2 = 2.
b) Ta có: ∆ = 25 – 4m.
Phương trình đã cho có nghiệm 0 m
25
(*)
4
Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x2 = 5 (1); x1x2 = m (2).
Khi đó: x1 x 2 3 x1 x 2 9 x1 x 2 4x1x 2 9 52 4m 9 m 4 .
2
2
Bài 6: Cho phương trình: x2 – 2mx + 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho khi m = 3.
b) Tìm giá trị của m để PT (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: (x1 + 1)2 + (x2 + 1)2 = 2.
Lời giải:
a) Với m = 3 ta có phương trình: x2 – 6x + 4 = 0.
Giải ra ta được hai nghiệm: x1 = 3 5; x 2 3 5 .
b) Ta có: ∆/ = m2 – 4
m 2
(*).
Phương trình (1) có nghiệm / 0
m 2
Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x2 = 2m và x1x2 = 4.
Suy ra: (x1 + 1)2 + (x2 + 1)2 = 2
x12 + 2×1 + x22 + 2×2 = 0 (x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 0 4m2 – 8 + 4m = 0
m1 1
m2 + m – 2 = 0
m 2 2
.
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có giá trị m2 = – 2 thỏa mãn.
Vậy m = – 2 là giá trị cần tìm.
Bài 7: Cho phương trình: x2 – 2mx – 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
b) Tìm các giá trị của m để: x12 + x22 – x1x2 = 7.
Lời giải:
a) Ta có ∆/ = m2 + 1 > 0, m R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Theo định lí Vi – ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = – 1.
Ta có: x12 + x22 – x1x2 = 7 (x1 + x2)2 – 3×1.×2 = 7 4m2 + 3 = 7 m2 = 1 m = ± 1.
Bài 8: Cho phương trình: x2 – x + 1 + m = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho với m = 0.
b) Tìm m để PT (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1x2(x1x2 – 2) = 3(x1 + x2).
Lời giải:
a) Với m = 0 ta có phương trình x2 – x + 1 = 0.
Vì ∆ = – 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.
b) Ta có: ∆ = 1 – 4(1 + m) = –3 – 4m.
Phương trình có nghiệm ∆ 0 – 3 – 4m 0 4m 3 m
3
(*).
4
Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = 1 + m
Thay vào đẳng thức: x1x2(x1x2 – 2) = 3(x1 + x2), ta được:
(1 + m)(1 + m – 2) = 3 m2 = 4 m = ± 2.
Đối chiếu với điều kiện (*) suy ra chỉ có m = –2 thỏa mãn.
Bài 9: Cho phương trình x2 – 6x + m = 0.
1) Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
2) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1 – x2 = 4.
Lời giải:
1) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: m < 0
2) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 ‘ 9 m 0 m 9.
x x 2 6
Theo hệ thứcViét ta có 1
x1.x 2 m
Theo yêu cầu của bài ra x1 – x2 = 4
(1)
(2)
(3)
Từ (1) và (3) x1 = 5, thay vào (1) x2 = 1
Suy ra m = x1.x2 = 5 (thoả mãn)
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm.
Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2 (m – 1)x – m – 3 = 0 (1)
1) Giải phương trình với m = –3
2
2
2) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức x1 + x 2 = 10.
3) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.
Lời giải:
x 0
1) Với m = – 3 ta có phương trình: x2 + 8x = 0 x(x + 8) = 0
x 8
2) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi:
∆’ 0 (m – 1)2 + (m + 3) ≥ 0 m2 – 2m + 1 + m + 3 ≥ 0
1
2
m2 – m + 4 > 0 (m ) 2
15
0 đúng m
4
Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt m
x x 2 2(m 1)
Theo hệ thức Vi ét ta có: 1
x1 x 2 m 3
2
(1)
(2)
2
Ta có x1 + x 2 = 10 (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 4 (m – 1)2 + 2 (m + 3) = 10
m 0
4m – 6m + 10 = 10 2m(2m 3) 0
m 3
2
2
3) Từ (2) ta có m = –x1x2 – 3 thế vào (1) ta có:
x1 + x2 = 2 (– x1x2 – 3 – 1) = – 2x1x2 – 8
x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0
Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.
PHIẾU SỐ 2
Dạng 1: nhẩm nghiệm
Bài 1: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) 4x 2 3x 1 0
b) x 2 1 3 x 3 0
c) x 2 7x 10 0
Dạng 2: tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Bài 2: Tìm hai số x và y biết:
a) x y 29 và x.y 198
b) x y 5 và x.y 9
c) x 2 y 2 13 và x.y 6
d) x y 7 và x.y 120
Dạng 3: tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số
Bài 3: Cho phương trình x 2 mx 2m 4 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 , x 2 không phụ
thuộc tham số m.
Bài 4: Cho phương trình: x2 – 2 (m – 1)x – m – 3 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.
Dạng 4 : tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
Bài 5: Cho phương trình x 2 3x 1 0 . Không giải phương trình, gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương
trình. Hãy tính giá trị của biểu thức : A
x12 5x1x 2 x 22
4×12 x 2 4x1x 22
Bài 6: Cho phương trình 2x 2 3x 1 0 . Không giải phương trình, gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương
trình. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A
1
1
x1 x 2
c) C x12 x 22
b) B
1 x1 1 x 2
x1
x2
d) D
x1
x
2
x 2 1 x1 1
Dạng 5: tìm điều kiện tham số thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 7: Cho phương trình x 2 2 m 3 x m 2 3 0 .Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 , x 2 thỏa mãn (2×1 1)(2x 2 1) 9
Bài 8: Cho phương trình x 2 2 m 3 x 2(m 1) 0 .Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 , x 2 sao cho biểu thức T x12 x 22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 9: Cho phương trình x 2 mx 3 0 .
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 sao cho biểu thức x1 x 2 4
Bài 10: Cho phương trình x 2 4x m2 1 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x 2 sao cho biểu thức x 2 5×1
Bài 11: Cho phương tình x 2 2mx m2 4 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2
thỏa mãn
1
3
1.
x1 x 2
Dạng 6: xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Bài 12: Cho phương trình: x 2 2 m 1 m 2 4m 3 0 (với m là tham số)
a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.
c) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm khác dấu.
d) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương.
e) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm âm.
HƯỚNG DẪN
Dạng 1: nhẩm nghiệm
Bài 1: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) 4x 2 3x 1 0
b) x 2 1 3 x 3 0
c) x 2 7x 10 0
Lời giải:
a) Ta thấy a b c 4 3 1 0
Suy ra phương trình có hai nghiệm x1 1; x 2
1
4
b) Ta thấy a b c 1 1 3 3 0
Suy ra phương trình có hai nghiệm x1 1; x 2 3
x1 x 2 7 2 5
c) Ta có 9 0 , theo hệ thức V-ét:
x1.x 2 10 2.5
Suy ra phương trình có hai nghiệm x1 2; x 2 5
Dạng 2: tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Bài 2: Tìm hai số x và y biết:
a) x y 29 và x.y 198
b) x y 5 và x.y 9
c) x 2 y 2 13 và x.y 6
d) x y 7 và x.y 120
Lời giải:
a) Ta có: S2 4P 292 4.198 49 0 nên x, y là nghiệm của phương trình : X2 29X 198 0
Giải ra ta có X1 11, X 2 18
x 11 x 18
Vậy ta có hai số x, y là
;
y 18 y 11
b) Ta có: S2 4P 52 4.9 11 0 nên không tồn tại hai số x, y thỏa mãn.
x y 5
2
c) Ta có: x y x 2 y 2 2xy 13 2.6 25
x y 5
+) Với x y 5 ta có x, y là hai nghiệm của phương trình sau:
X 2
X 2 5X 6 0
X 3
+) Với x y 5 ta có x, y là hai nghiệm của phương trình sau:
X 2
X 2 5X 6 0
X 3
Vậy (x; y) 2;3 , 3; 2 , 2; 3 , 3; 2
d) Đặt t y , ta có: x t 7 và x.t 120
S2 4P 7 2 4.(120) 529 0 nên x, t là nghiệm của phương trình : X 2 7X 120 0
Giải ra ta có X1 15, X 2 8
x 15 x 8
x 15 x 8
Vậy ta có hai số x, t là
;
;
t 8 t 15
y 8 y 15
Dạng 3: tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số
Bài 3: Cho phương trình x 2 mx 2m 4 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 , x 2 không phụ
thuộc tham số m.
Lời giải:
-Xét m 2 4(2 m 4) (m 4) 2 0 , phương trình luôn có nghiệm.
(1)
x1 x 2 m
Theo hệ thức Vi-ét : *
x1.x 2 2m 4 (2)
Cách khử 1: Thế (1) vào (2), ta có hệ thức cần tìm x 1.x 2 2(x1 x 2 ) 4
2×1 2x 2 2m
2×1 2x 2 x1.x 2 4 là hệ thức cần tìm.
Cách khử 2: (*)
x1.x 2 2m 4
m x1 x 2
x1.x 2 4
Cách khử 3: (*)
.Hay 2(x1 x 2 ) x1.x 2 4 là hệ thức cần tìm.
x1.x 2 4 x1 x 2
2
m
2
Bài 4: Cho phương trình: x2 – 2 (m – 1)x – m – 3 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.
Lời giải:
x = 0
a) Với m = – 3 ta có phương trình: x2 + 8x = 0 x (x + 8) = 0
x = – 8
b) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi:
∆’ 0 (m – 1)2 + (m + 3) ≥ 0 m2 – 2m + 1 + m + 3 ≥ 0
1
15
m2 – m + 4 > 0 (m )2 0 đúng m
2
4
Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt m
x1 + x 2 = 2(m – 1)
Theo hệ thức Vi ét ta có:
x1 – x 2 = – m – 3
Từ (2) ta có m = -x1x2 – 3 thế vào (1) ta có:
x1 + x2 = 2 (- x1x2 – 3 – 1) = – 2x1x2 – 8
(1)
(2)
x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0
Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.
Dạng 4 : tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
Bài 5: Cho phương trình x 2 3x 1 0 . Không giải phương trình, gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương
trình. Hãy tính giá trị của biểu thức : A
x12 5x1x 2 x 22
4×12 x 2 4x1x 22
Lời giải:
Xét 9 4.1.1 5 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt.
S x1 x 2 3
Theo hệ thức Vi-ét :
P x1.x 2 1
x x 2 3x1x 2
A 1
4x1x 2 x1 x 2
2
9 3.1
1
4.1. 3
Bài 6: Cho phương trình 2x 2 3x 1 0 . Không giải phương trình, gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương
trình. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A
1 1
x1 x 2
c) C x12 x 22
b) B
1 x1 1 x 2
x1
x2
d) D
x1
x
2
x 2 1 x1 1
Lời giải:
Ta có : 9 8 1 0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt, hơn nữa x1 0, x 2 0 . Theo hệ thức Vi3
x1 x 2 2
ét, ta có :
x x 1
1 2 2
a) A
1 1 x1 x 2 3 1
: 3
x1 x 2
x1 .x 2
2 2
3
1
x1 x 2 2x1x 2 2 2. 2
1 x 1 1 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1 x1 x 2
b) B
1
1
x1
x2
x1 x 2
x1 x 2
2
2
1
1
2
3
c) C x12 x 22 x1 x 2 2x1x 2 2. 1
2
4
2
d) D
x1
x
x 2 x1 x 22 x 2
2 1
x 2 1 x1 1 x1x 2 (x1 x 2 ) 1
9
3
2x1x 2 x1 x 2 4 1 2 11
11
:3
1 3
x 1 x 2 x1 x 2 1
12
1 4
2 2
x x2
13
2
Dạng 5: tìm điều kiện tham số thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 7: Cho phương trình x 2 2 m 3 x m 2 3 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 thỏa mãn (2×1 1)(2x 2 1) 9
Lời giải:
Có ‘ m 3 1. m 2 3 m 3 m 2 3 6m 6
2
2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 khi ‘ 0 6m 6 0 m 1
Theo định lí Vi ét, ta có: x1 x 2
b
c
2(m 3); x1.x 2 m2 3
a
a
Ta có: (2×1 1)(2x 2 1) 9 4x1x 2 2(x1 x 2 ) 1 9 (*)
4(m 2 3) 4(m 3) 1 9
(2m 1) 2 9
2m 1 3
2m 1 3
m = -1 ( loại) , m = 2 ( thỏa mãn)
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Bài 8: Cho phương trình x 2 2 m 3 x 2(m 1) 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 sao cho biểu thức T x12 x 22 đạt giá trị nhỏ
nhất.
Lời giải:
Có ‘ m 3 1. 2 m 1 m 3 2m 2
2
2
‘ m 2 4m 7 m 2 3 0m
2
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2
Theo định lí Vi ét, ta có: x1 x 2
b
c
2(m 3); x1.x 2 2 m 1
a
a
Ta có: T x12 x 22 x1 x 2 2x1x 2
2
T 2 m 3 2 2 m 1
2
T 4m 2 20m 32 2m 5 7 7
2
MinT 7 khi m
Vậy m
5
2
5
là giá trị cần tìm.
2
Bài 9: Cho phương trình x 2 mx 3 0 .
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 sao cho biểu thức x1 x 2 4
Lời giải:
Có a.c 3 0m nên a và c trái dấu
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2
Theo định lí Vi ét, ta có: x1 x 2
b
c
m; x1.x 2 3
a
a
Ta có:
x
x
x
1
x2
1
x2
x
x
x2
m
1
2
2
1
2
2
2
x 2 2 x1x 2 x12 x 22 2x1x 2 2x1x 2 2 x1x 2
x 2 2x1x 2 2 x1x 2
2
1
2
2.(3) 2 3 m 2 12
Do đó: x1 x 2 4 m 2 12 16 m 2
Vậy m 2 là giá trị cần tìm.
Bài 10: Cho phương trình x 2 4x m2 1 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x 2 sao cho biểu thức x 2 5×1
Lời giải:
Có 2 1. m 2 1 m 2 5 0m
2
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2
Theo định lí Vi ét, ta có: x1 x 2
b
c
4, x1.x 2 m2 1
a
a
x 2 5×1
5×1 x1 4 x1 1 x 2 5
Giải hệ
x1 x 2 4
Thay x1 1; x 2 5 vào x1.x 2
c
m2 1 , ta được m2 4 m 2
a
Vậy m 2 là giá trị cần tìm.
Bài 11: Cho phương tình x 2 2mx m2 4 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2
thỏa mãn
1
3
1.
x1 x 2
Lời giải:
Có ‘ m m 2 4 m 2 m 2 4 4 0, m.
2
Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt là x m 2.
Điều kiện: x1 0, x 2 0 m 2 0 m 2.
Trường hợp 1: Xét x1 m 2, x 2 m 2 thay vào
1 3
1 ta được:
x1 x 2
m 2 3 m 2
1
3
4m 4
1
1 2
1
m2 m2
m 4
m 2 m 2
4m 4 m 2 4 m 2 4m 8 0 m 2 4m 4 12 0
m 2 12 m 2 2 3 m 2 2 3 (thỏa mãn)
2
Trường hợp 2: Xét x1 m 2, x 2 m 2 thay vào
1 3
1 ta được:
x1 x 2
m 2 3 m 2
1
3
4m 4
1
1 2
1
m2 m2
m 4
m 2 m 2
4m 4 m 2 4 m 2 4m 0 m 0; m 4 (thỏa mãn).
Vậy m 0; 4; 2 2 3 là giá trị cần tìm.
Dạng 6: xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Bài 12: Cho phương trình: x 2 2 m 1 m 2 4m 3 0 (với m là tham số)
a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.
c) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm khác dấu.
d) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương.
e) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm âm.
Lời giải:
‘ m 1 (m 2 4m 3) 6m 2
2
S 2(m 1) ; P m2 4m 3
1
2
a) Để phương trình đã cho có nghiệm thì: ‘ 0 m 1 (m2 4m 3) 0 6m 2 0 m .
3
1
Vậy khi m thì phương trình đã cho có nghiệm.
3
a)
Phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi:
1
2
2
m
‘ 0 m 1 m 4m 3 0
m3
3
P0
m 2 4m 3 0
m 1 m 3
Vậy khi m > 3 phương trình có hai nghiệm cùng dấu.
c) Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi và chỉ khi: P < 0 m2 – 4m+3 < 0 1< m < 3
Vậy khi 1 < m < 3 thì phương trình có hai nghiệm khác dấu.
d) Phương trình đã cho có hai nghiệm dương khi và chỉ khi:
1
m
‘ 0 6m 2 0
3
2
P 0 m 4m 3 0 m 1 m 3 m 3
S 0
2(m 1) 0
m 1
Vậy khi m > 3 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương.
e) Phương trình đã cho có hai nghiệm âm khi và chỉ khi:
1
m
6m
2
0
‘
0
3
2
P 0 m 4m 3 0 m 1 m 3 m
S 0
2(m 1) 0
m 1
Vậy không tìm được giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm âm.
———————Toán Học Sơ Đồ——————–
