Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 9
Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng lớp 9 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng.
Lý thuyết Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi – ét và ứng dụng
Bài giảng Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi – ét và ứng dụng
I. Lý thuyết
1. Hệ thức Vi – ét
Quảng cáo
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép thì ta đều có thể viết được dưới dạng:
x1=-b+∆2a; x2=-b+∆2a
Định lí Vi – ét
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có:
x1+x2=-bax1.x2=ca
Nhận xét: Nhờ định lý Vi – ét, nếu đã biết một nghiệm của phương trình bậc hai thì có thế suy ra nghiệm kia.
2. Ứng dụng của định lý Vi – ét.
a) Ứng dụng trong giải phương trình (bằng cách nhẩm miệng)
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1 và nghiệm còn lại là x2 =ca
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1 và nghiệm còn lại là x2 = -ca
Quảng cáo
b) Tìm hai số khi biết tổng và tích.
+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x2 – Sx + P = 0
+ Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0
II. Bài tập tự luyện
Bài 1: Phương trình x2 + (2m + 1)x + 3m = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là x1 = -3. Tìm nghiệm x2.
Lời giải:
Ta có: a = 1; b = 2m + 1; c = 3m.
∆=b2-4ac=2m+12-4.1.3m=4m2-8m+1
Vì phương trình có một nghiệm x1=-3 nên thay x = -3 vào phương trình ta có:
-32+2m+1.-3+3m=0⇔9-6m-3+3m=0⇔-3m+6=0⇒m=-6:-3=2
Với m = 2 ⇒∆=4.22-8.2+1=1> 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có:
x1+x2=-ba=-2m+11=-2.2+11=5⇒x2=-5-x1=-5–3=-2
Vậy nghiệm còn lại của phương trình là -2.
Bài 2: Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a –b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) x2-4x-5=0
b) x2+6x-7=0
Lời giải:
a) x2-4x-5=0
Ta có: a = 1; b = -4; c = -5
Ta có a – b + c = 1 – (-4) – 5 = 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
x1=-1; x2=-ca=–51=5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là S = {-1; 5}.
b) x2+6x-7=0
Ta có: a = 1; b = 6; c = -7
Ta có: a + b + c = 1 + 6 + (-7) = 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
x1=1; x2=ca=-71=-7
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {-7; 1}.
Bài 3: Tìm hai số u, v biết:
u + v = 32; u.v = 231
Lời giải:
S = 32; P = 231 ⇒ S2 – 4P = 322 – 4.231 = 100 > 0
⇒ Tồn tại u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 – 32x + 231 = 0.
Ta có: Δ = (-32)2 – 4.231 = 100 > 0
⇒ PT có hai nghiệm:
x1=32+1002.1=21; x2=32-1002.1=11
Vậy u = 21; v = 11 hoặc u = 11; v = 21.
Bài 4: Tìm giá trị của m để phương trình x2-2x+4m=0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn 3×1+5×2=5.
Lời giải:
∆’=b’2-ac=-12-1.4m=1-4m
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:
∆’>0⇔1-4m>0⇔4m<1⇔m<14
Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có:
x1+x2=-ba=21=2 (1)
Theo đề bài lại có: 3×1+5×2=5 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x1+x2=23×1+5×2=5
Giải hệ phương trình ta được: x1=52×2=-12
Mà cũng theo định lý Vi – ét
x1.x2=ca=4m1=4m⇒52.-12=4m⇔-54=4m⇔m=-54:4=-516
Vậy m=-516 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn 3×1+5×2=5.
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:
Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai
Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Lý thuyết Ôn tập chương 4
Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn
Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
