So sánh cơ số của hàm mũ – logarit và số mũ của hàm lũy thừa

Trích bài giảng trong: KHOÁ PRO X LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN 2023

Để so sánh cơ số của hai hàm số mũ hoặc hai hàm số logarit hoặc giữa một hàm số mũ và một hàm số logarit dựa trên đồ thị (bảng biến thiên) ta thực hiện như sau:

*Mức nhận biết thông hiểu:

+ $\left( {{C}_{1}} \right):y={{a}^{x}}\uparrow \Rightarrow a>1;\left( {{C}_{1}} \right):y={{a}^{x}}\downarrow \Rightarrow 0<a<1$

+ $\left( {{C}_{2}} \right):y={{\log }_{b}}x\uparrow \Rightarrow b>1;\left( {{C}_{2}} \right):y={{\log }_{b}}x\downarrow \Rightarrow 0<b<1$

*Mức vận dụng:

+ Kẻ đường thẳng $x=1$ cắt các đồ thị của các hàm số $y={{a}^{x}},y={{b}^{x}},y={{c}^{x}},…$ tại điểm có tung độ $a,b,c,…$ Quan sát các tung độ này trên đồ thị cho ta kết quả.

+ Kẻ đường thẳng $y=1$ cắt các đồ thị của các hàm số $y={{\log }_{a}}x,y={{\log }_{b}}x,y={{\log }_{c}}x,…$ tại các điểm có hoành độ $a,b,c,…$ Quan sát các hoành độ này trên đồ thị cho ta kết quả.

Để so sánh số mũ của hai hàm số luỹ thừa dựa trên đồ thị (bảng biến thiên) trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ ta thực hiện như sau:

*Mức Nhận biết thông hiểu:

$\left( C \right):y={{x}^{\alpha }}\uparrow \Rightarrow \alpha >0;\left( C \right):y={{x}^{\alpha }}\downarrow \Rightarrow \alpha <0$

*Mức vận dụng:

+ Kẻ đường thẳng $x={{x}_{0}},\left( 0<{{x}_{0}}\ne 1 \right)$ cắt các đồ thị hàm số $y={{x}^{\alpha }},y={{x}^{\beta }},y={{x}^{\gamma }},…$ tại các điểm có tung độ \[x_{0}^{\alpha },x_{0}^{\beta },x_{0}^{\gamma },…\] Quan sát các tung độ này trên đồ thị cho ta kết quả.

+ Nếu so sánh các số mũ này với số 1, các em vẽ thêm đồ thị hàm số $y={{x}^{1}}=x$ là đường thẳng qua hai điểm (0;0), (1;1).

Có thể thể chọn ${{x}_{0}}=\dfrac{1}{2},2,3,…$ tính toán cho đơn giản.

Ví dụ 1: Cho $a, b, c$ là ba số thực dương và khác $1.$ Đồ thị các hàm số $y={{a}^{x}},y={{\log }_{b}}x,y={{\log }_{c}}x$ được cho trong hình bên:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a<b<c.$

B. $c<b<a.$

C. $b<c<a.$

D. $b<a<c.$

Giải. Kẻ đường thẳng $x=1$ cắt đồ thị hàm số $y={{a}^{x}}$ tại điểm có tung độ $a;$ kẻ đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị hàm số $y={{\log }_{b}}x;y={{\log }_{c}}x$ lần lượt tại các điểm có hoành độ $b;c.$

Quan sát hình vẽ suy ra $c>a>b.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 2: Đồ thị các hàm số $y={{x}^{m}};y={{x}^{n}};y={{x}^{p}};y={{x}^{q}}$ được cho trong hình bên:

Số nhỏ nhất trong các số $m,n,p,q$ là

A. $q.$

B. $m.$

C. $p.$

D. $n.$

Giải. Kẻ đường thẳng $x={{x}_{0}}$ với ${{x}_{0}}>1$

và quan sát các tung độ giao điểm của đường thẳng này với đồ thị các hàm số đã cho ta có $x_{0}^{n}>x_{0}^{p}>x_{0}^{q}>x_{0}^{m}\Rightarrow n>p>q>m.$ Vậy $\min \left\{ m,n,p,q \right\}=m.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Đồ thị của hai hàm số $y={{x}^{\alpha }},y={{x}^{\beta }}$ trên khoảng $(0;+\infty )$ trên cùng hệ trục toạ độ như hình vẽ bên. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $1>\alpha >0>\beta >-1.$

B. $\alpha >1>-1>\beta .$

C. $\alpha >1>0>\beta >-1.$

D. $1>\alpha >0>-1>\beta .$

Giải. Kẻ đường thẳng $x=2$ cắt đồ thị các hàm số đã cho tại các điểm có tung độ ${{2}^{\alpha }},{{2}^{\beta }}.$

Quan sát đồ thị ta có ${{2}^{\alpha }}>2;{{2}^{\beta }}<0,5={{2}^{-1}}\Rightarrow \alpha >1;\beta <-1.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Cho đồ thị các hàm số $y={{a}^{x}},y={{b}^{x}},y={{c}^{x}}$ như hình vẽ. Biết $a,b,c\in S=\left\{ {{k}^{2}}+1,\text{ }\dfrac{1}{{{k}^{2}}+1},\text{ }\dfrac{1}{{{k}^{2}}+2} \right\}\text{ }\left( k\ne 0 \right).$ Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $ac=\dfrac{{{k}^{2}}+1}{{{k}^{2}}+2}.$

B. $ac=1.$

C. $ac=\dfrac{1}{\left( {{k}^{2}}+1 \right)\left( {{k}^{2}}+2 \right)}.$

D. $ac=\left( {{k}^{2}}+1 \right)\left( {{k}^{2}}+2 \right).$

Giải. Kẻ đường thẳng $x=1$ cắt đồ thị các hàm số đã cho tại các điểm có tung độ là $a,b,c.$ Quan sát các tung độ giao điểm suy ra $c>1>a>b.$

Mặt khác $a,b,c\in S=\left\{ {{k}^{2}}+1,\dfrac{1}{{{k}^{2}}+1},\dfrac{1}{{{k}^{2}}+2} \right\},k\ne 0$ và ${{k}^{2}}+1>\dfrac{1}{{{k}^{2}}+1}>\dfrac{1}{{{k}^{2}}+2}\Rightarrow c={{k}^{2}}+1;a=\dfrac{1}{{{k}^{2}}+1};b=\dfrac{1}{{{k}^{2}}+2}\Rightarrow ac=1.$ Chọn đáp án B.

*Các em xem lại Bài giảng So sánh cơ số và số mũ của hàm số mũ, logarit, luỹ thừa khoá PRO X.

Ví dụ 5: Cho đồ thị các hàm số $y={{a}^{x}},y={{b}^{x}},y={{c}^{x}}$ như hình vẽ. Biết $a,b,c\in S=\left\{ {{k}^{2}}+1,\text{ }\dfrac{1}{{{k}^{2}}+1},\text{ }\dfrac{1}{{{k}^{2}}+2} \right\}\text{ }\left( k\ne 0 \right).$

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{9}{c}$ bằng

A. $1+6\sqrt{5}.$

B. $18.$

C. $4+6\sqrt{5}.$

D. $17.$

Giải. Kẻ đường thẳng $x=1$ cắt đồ thị các hàm số đã cho tại các điểm có tung độ là $a,b,c.$ Quan sát các tung độ giao điểm suy ra $c>1>a>b.$

Mặt khác $a,b,c\in S=\left\{ {{k}^{2}}+1,\dfrac{1}{{{k}^{2}}+1},\dfrac{1}{{{k}^{2}}+2} \right\},k\ne 0$ và ${{k}^{2}}+1>\dfrac{1}{{{k}^{2}}+1}>\dfrac{1}{{{k}^{2}}+2}\Rightarrow c={{k}^{2}}+1;a=\dfrac{1}{{{k}^{2}}+1};b=\dfrac{1}{{{k}^{2}}+2}.$

Khi đó $P={{k}^{2}}+1+4\left( {{k}^{2}}+2 \right)+\dfrac{9}{{{k}^{2}}+1}=5\left( {{k}^{2}}+1 \right)+\dfrac{9}{{{k}^{2}}+1}+4\ge 2\sqrt{5\left( {{k}^{2}}+1 \right).\dfrac{9}{{{k}^{2}}+1}}+4=4+6\sqrt{5}.$ Chọn đáp án C.

Câu hỏi tự luyện: 

(1) Đồ thị các hàm số $y={{m}^{x}};y={{x}^{n}};y={{\log }_{p}}x;y={{x}^{q}}$ được cho trong hình bên:

Số lớn nhất trong các số $m,n,p,q$ là

(2) Cho đồ thị các hàm số $y={{a}^{x}},y={{b}^{x}},y={{\log }_{c}}x$ như hình vẽ:

Biết $a,b,c$ nhận một trong các giá trị $m+n+1,n+1,\dfrac{1}{\sqrt{mn}+1}$với $m,n$ là các số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=8\sqrt{2}a+b+c$ bằng

A. $2\sqrt{2}+4.$

B. $2+6\sqrt{2}.$

C. $6\sqrt{2}+2.$

D. $4\sqrt{2}+2.$