Chapter 3 – Slide – [SAMI-HUST]Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội Chương 3: Biến ngẫu nhiên – Studocu

[SAMI-HUST]Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội

Chương 3: Biến ngẫu nhiên nhiều chiều

Lê Xuân Lý (1)

Hà Nội, tháng 3 năm 2018

(1)Email: Lê Xuân Lý lexuanly@gmail Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, tháng 3 năm 20181/35 1 / 35

Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Các khái niệm cơ sở

Các khái niệm cơ sở

Ở chương trước chúng ta quan tâm đến xác suất của biến ngẫu nhiên riêng rẽ.
Nhưng trong thực tế nhiều khi ta phải xét đồng thời nhiều biến khác nhau có quan
hệ tương hỗ (ví dụ khi nghiên cứu về sinh viên một trường đại học thì cần quan
tâm đến chiều cao, cân nặng, tuổi,… ). Do đó dẫn đến khái niệm biến ngẫu nhiên
nhiều chiều hay véctơ ngẫu nhiên.
Để cho đơn giản, ta nghiên cứu biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ), trong đó X, Y
là các biến ngẫu nhiên một chiều. Hầu hết các kết quả thu được đều có thể mở
rộng khá dễ dàng cho trường hợp biến ngẫu nhiên n chiều.
Biến ngẫu nhiên hai chiều được gọi là rời rạc (liên tục) nếu các thành phần của nó
là các biến ngẫu nhiên rời rạc (liên tục).

Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Các khái niệm cơ sở

Các khái niệm cơ sở

Định nghĩa 3.

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) được xác định như sau

F (x, y) = P (X < x, Y < y), x, y ∈ R. (3)

Nhiều tài liệu gọi hàm trên là hàm phân phối xác suất đồng thời của hai biến X và Y.

Tính chất
0 ≤ F (x, y) ≤ 1 , ∀x, y ∈ R;
F (x, y) là hàm không giảm theo từng đối số;
F (−∞, y) = F (x, −∞) = 0, ∀x, y ∈ R và F (+∞, +∞) = 1;
Với x 1 < x 2 , y 1 < y 2 ta luôn có

P (x 1 ≤ X ≤ x 2 , y 1 ≤ y ≤ y 2 ) = F (x 2 , y 2 ) + F (x 1 , y 1 ) − F (x 1 , y 2 ) − F (x 2 , y 1 ).

Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, tháng 3 năm 20184/35 4 / 35

Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Các khái niệm cơ sở

Các khái niệm cơ sở

Tính chất (tiếp)

Các hàm

F (x, +∞) = P (X < x, Y < +∞) = P (X < x) =: FX (x)
F (+∞, y) = P (X < +∞, Y < y) = P (Y < y) =: FY (x)

là các hàm phân phối riêng của các biến ngẫu nhiên X và Y và còn được gọi là
các phân phối biên của biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ).

Định nghĩa 3.

Hai biến ngẫu nhiên X, Y được gọi là độc lập nếu

F (x, y) = FX (x).FY (y), ∀x, y ∈ R.

Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

Ví dụ 1
Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y ) như sau:

❍❍❍❍

X ❍

Y

1 2 3

1 0. 10 0. 25 0. 10

2 0. 15 0. 05 0. 35

Tìm bảng phân phối xác suất của X và Y , sau đó tính F (2; 3).

Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, tháng 3 năm 20188/35 8 / 35

Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

Giải
Lấy tổng của hàng, cột tương ứng ta thu được

X 1 2
P (X = x) 0. 45 0. 55

Y 1 2 3

P (Y = x) 0. 25 0. 30 0. 45

Ta có
F (2, 3) =

∑

xi < 2

∑

yj < 3

pij = p 11 + p 12 = 0. 35.

Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

Ví dụ 2
Ta lấy ngẫu nhiên 3 pin từ một nhóm gồm 3 pin mới, 4 pin đã qua sử dụng nhưng vẫn
dùng được và 5 pin hỏng. Nếu ký hiệu X, Y tương ứng là số pin mới và số pin đã qua sử
dụng nhưng vẫn dùng được trong 3 pin lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất đồng thời
cho (X, Y ).

Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, tháng 3 năm 201810/35 10 / 35

Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

Bài làm
P (X = 0, Y = 0) = C 53 /C 123 = 10/ 220
P (X = 0, Y = 1) = C 41 .C 52 /C 123 = 40/ 220
P (X = 0, Y = 2) = C 42 .C 51 /C 123 = 30/ 220
P (X = 0, Y = 3) = C 43 /C 123 = 4/ 220
P (X = 1, Y = 0) = C 31 .C 52 /C 123 = 30/ 220
P (X = 1, Y = 1) = C 31 .C 41 .C 51 /C 123 = 60/ 220
P (X = 1, Y = 2) = C 31 .C 42 /C 123 = 18/ 220
P (X = 2, Y = 0) = C 32 .C 51 /C 123 = 15/ 220
P (X = 2, Y = 1) = C 32 .C 41 /C 123 = 12/ 220 , P (X = 3, Y = 0) = C 33 /C 123 = 1/ 220

❍❍❍❍

X ❍

Y

0 1 2 3 P (X = i)
0 10 / 220 40 / 220 30 / 220 4 / 220 84 / 220
1 30 / 220 60 / 220 18 / 220 0 108 / 220
2 15 / 220 12 / 220 0 0 27 / 220
3 1 / 220 0 0 0 1 / 220
P (Y = j) 56 / 220 112 / 220 48 / 220 4 / 220

Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều

rời rạc

Chú ý 3.

Hai biến ngẫu nhiên X, Y được gọi là độc lập với nhau nếu ta có

P (X = xi, Y = yj ) = P (X = xi).P (Y = yj ), ∀i = 1 , m, j = 1 , n

Các xác suất có điều kiện vẫn được tính như thông thường, tức là

P (X = xi|Y = yj ) =
P (X = xi, Y = yj )
P (Y = yj )

hoặc

P (X = xi|Y ∈ D) =
P (X = xi, Y ∈ D)
P (Y ∈ D)

Công thức cũng tương tự với P (Y = yj |X = xi) , P (Y = yj |X ∈ D).

Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, tháng 3 năm 201814/35 14 / 35

Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều

liên tục

Định nghĩa 3.

Hàm hai biến không âm, liên tục f (x, y) được gọi là hàm mật độ xác suất đồng thời
của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (X < Y ) nếu nó thỏa mãn

P ((X, Y ) ∈ D) =

∫∫

D

f (x, y)dxdy ∀D ⊂ R 2. (3)

Tính chất

F (x, y) =

∫ x

−∞

∫ y

−∞

f (u, v)dudv;

+∫∞

−∞

+∫∞

−∞

f (x, y)dxdy.

Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều

liên tục

Tính chất (tiếp)

f (x, y) =
∂ 2 F (x, y)
∂x∂y

;

Các hàm mật độ biên

theo x : fX (x) =

+∫∞

−∞

f (x, y)dy;

theo y : fY (y) =

+∫∞

−∞

f (x, y)dx.

Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là độc lập nếu f (x, y) = fX (x).fY (y) ∀x, y.
Hàm mật độ có điều kiện của X khi đã biết Y = y:

φ (x|y) =
f (x, y)
fY (y)

.

Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, tháng 3 năm 201816/35 16 / 35

Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục

PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục

Ví dụ 4
Hàm mật độ đồng thời của X, Y được cho bởi:

f (x, y) =

{

2 .e−x− 2 y 0 < x < ∞, 0 < y < ∞
0 trường hợp khác

Tính P (X > 1 , Y < 1) , P (X < Y ) , P (X < a)

Bài làm

P (X > 1 , Y < 1) =

∫ 1

0

∫ ∞

1

2 .e−x− 2 y dxdy = e− 1 (1 − e− 2 )

P (X < Y ) =

∫ ∞

0

∫ y

0

2 .e−x− 2 y dxdy = 1/ 3

P (X < a) =

∫ a

0

∫ ∞

0

2 .e−x− 2 y dydx = 1 − e−a

Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều Hiệp phương sai và hệ số tương quan

Hiệp phương sai và hệ số tương quan

Định nghĩa 4.

Cho biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ), hiệp phương sai của hai thành phần X và Y , kí
hiệu là cov(X, Y ) , được xác định bởi

cov(X, Y ) = E [(X − EX)(Y − EY )] = E(XY ) − EX, (4)

trong đó E(XY ) được xác định theo công thức

E(XY ) =











∑

i

∑

j

xiyj pij , đối với biến ngẫu nhiên rời rạc
∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

xy (x, y), đối với biến ngẫu nhiên liên tục

Ý nghĩa: Hiệp phương sai là một chỉ báo quan hệ của X, Y :
cov(X, Y ) > 0 cho thấy xu thế Y tăng khi X tăng
cov(X, Y ) < 0 cho thấy xu thế Y giảm khi X tăng

Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, tháng 3 năm 201821/35 21 / 35

Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều Hiệp phương sai và hệ số tương quan

Hiệp phương sai và hệ số tương quan

Định nghĩa 4.

Ta nói rằng X và Y không tương quan nếu cov(X, Y ) = 0.

Nhận xét
cov(X, Y ) = cov(Y, X);
V X = cov(X, X), V Y = cov(Y, Y );
Nếu X, Y độc lập, ta có E(XY ) = EX tức là X và Y không tương quan.
Điều ngược lại chưa chắc đã đúng.
cov(aX, Y ) = a(X, Y )
cov(X + Z, Y ) = cov(X, Y ) + cov(Z, Y )
cov(

(∑n
i=1 Xi, Y

)

=

∑n
i=1 cov(Xi, Y )
X 1 , X 2 , …, Xn độc lập: V ar(

∑n
i=1 Xi) =

∑n
i=1 V ar(Xi)

Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều Hiệp phương sai và hệ số tương quan

Hiệp phương sai và hệ số tương quan

Định nghĩa 4.

Ma trận hiệp phương sai của biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) được xác định bởi

Γ =

[

cov(X, X) cov(X, Y )
cov(Y, X) cov(Y, Y )

]

=

[

V X cov(X, Y )
cov(X, Y ) V Y

]

Định nghĩa 4.

Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X và Y , ký hiệu là ρXY và được xác định
theo công thức

ρXY =

cov(X, Y )
√
V X Y

(4)

Chú ý 4.
|ρXY | ≤ 1.
Nếu ρXY = ± 1 ta nói hai biến ngẫu nhiên X và Y có quan hệ tuyến tính.
Nếu ρXY = 0 ta nói hai biến ngẫu nhiên X và Y là không tương quan.
Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, tháng 3 năm 201823/35 23 / 35

Hàm của biến ngẫu nhiên Hàm của một biến ngẫu nhiên

Hàm của một biến ngẫu nhiên

Nếu ta xác định là một hàm của biến ngẫu nhiên X thì Z trở thành một biến ngẫu
nhiên mới. Ta sẽ tìm hàm phân phối xác suất cho Z trong một số trường hợp đơn giản.

Định nghĩa 5.

Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất. Khi đó hàm phân phối xác suất của
Z được xác định theo cách sau:

FZ (z) = P (Z < z) = P (g(X) < z) = P (X ∈ D), (5)

trong đó D = {x|g(x) < z}.
Tuy nhiên tùy vào từng bài có thể có các cách giải ngắn hơn.

Hàm của biến ngẫu nhiên Hàm của hai biến ngẫu nhiên

Hàm của hai biến ngẫu nhiên

Xét biến ngẫu nhiên Z = g(X, Y ), trong đó (X, Y ) là biến ngẫu nhiên hai chiều đã biết
luật phân phối. Ta sẽ xét luật phân phối xác suất của Z trong một số trường hợp đơn
giản theo cách sau:

FZ (z) = P (Z < z) = P (g(X, Y ) < z) = P ((X, Y ) ∈ D) ,

trong đó D {(x, y)|g(x, y) < z}.
Đối với biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (X, Y ) với hàm mật độ đồng thời f (x, y) ta có

P ((X, Y ) ∈ D) =

∫∫

D

f (x, y)dxdx,

đồng thời kỳ vọng

EZ = E (g(X, Y )) =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

g(x, y).f (x, y)dxdy.

Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, tháng 3 năm 201828/35 28 / 35

Hàm của biến ngẫu nhiên Hàm của hai biến ngẫu nhiên

Hàm của hai biến ngẫu nhiên

Ví dụ 7
Hai người bạn hẹn gặp nhau ở công viên trong khoảng thời gian từ 17 h đến 18 h. Họ hẹn
nhau nếu người nào đến trước thì sẽ đợi người kia trong vòng 10 phút. Sau 10 phút đợi
nếu không gặp sẽ về. Thời điểm đến của hai người là ngẫu nhiên và độc lập với nhau
trong khoảng thời gian trên. Tính xác suất hai người gặp được nhau.

Giải
Quy gốc thời gian về lúc 17 h. Gọi X, Y là biến ngẫu nhiên chỉ thời điểm người A, B
đến, ta có X, Y ∼ U (0; 60). Do X, Y độc lập nên chúng có hàm mật độ đồng thời

f (x, y) =







1

3600

, (x, y) ∈ [0; 60] 2
0 , ngược lại

. Gọi Z là biến ngẫu nhiên chỉ khoảng thời gian giữa

thời điểm hai người đến. Ta có Z = |X − Y |. Khi đó, xác suất hai người gặp nhau là

P (Z < 10) = P (|X − Y | < 10) = P ((X, Y ) ∈ D) ,

trong đó D là giao miền |X − Y | < 10 và hình vuông [0; 60] 2. Vậy

P (Z < 10) =

SD

3600 = 1100 3600 = 11 36

Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều .Hà Nội, tháng 3 năm 201829/35 29 / 35

Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm Luật số lớn

Luật số lớn

Bất đẳng thức Trebyshev
Định lý 1: Cho Y là biến ngẫu nhiên không âm. Khi đó với ǫ > 0 tuỳ ý cho trước ta có:

P (Y ≥ ǫ) < E

(Y 2 )

ǫ 2

Chứng minh
Ta chứng minh cho trường hợp Y là biến ngẫu nhiên liên tục.

P (Y ≥ ǫ) =

∫ +∞

ǫ

f (y)dy =

1

ǫ 2

+∫∞

ǫ

ǫ 2 .f (y)dy ≤

1

ǫ 2

+∫∞

ǫ

y 2 .f (y)dy

≤

1

ǫ 2

∫+∞

0

y 2 .f (y)dy =

E(Y 2 )

ǫ 2

Tuy nhiên dấu bằng không thể đồng thời xảy ra ở cả 2 dấu ≤ nên ta có ĐPCM.

Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, tháng 3 năm 201831/35 31 / 35

Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm Luật số lớn

Luật số lớn

Bất đẳng thức Trebyshev
Định lý 2: Cho X là biến ngẫu nhiên có EX = μ, V X = σ 2 hữu hạn. Khi đó với ǫ > 0
tuỳ ý cho trước ta có:
P (|X − μ| ≥ ǫ) < σ

2
ǫ 2
hay tương đương
P (|X − μ| ≤ ǫ) ≥ 1 −

σ 2
ǫ 2

Chứng minh
Ta chứng minh cho trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục.
Ta chỉ cần đặt Y = |X − μ|, lập tức áp dụng định lý 1 ta có ĐPCM.

Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm Định lý giới hạn trung tâm

Định lý giới hạn trung tâm

Định lý giới hạn trung tâm
Giả sử {Xn} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với EXi = μ, V Xi = σ 2.
Đặt Xn =

∑n
i=

Xi. Khi đó với n đủ lớn ta có:

Xn ∼ N (μ, σ

2
n

)

hay là
Xn − μ
σ

√

n ∼ N (0; 1)