Đồ thị hàm số mũ và logarit – đầy đủ lý thuyết và bài tập siêu chi tiết

Đồ thị hàm số mũ và logarit là phần kiến thức rất quan trọng trong chương trình học lớp 12. Để thành thạo cách vẽ đồ thị hàm mũ và logarit, các em hãy cùng VUIHOC ôn tập lý thuyết và giải quyết từng bước làm bài toán dạng này nhé!

Trước khi đi vào từng phần lý thuyết về đồ thị của hàm số mũ và logarit, VUIHOC sẽ điểm lại cho các em lý thuyết về hàm số mũ và hàm số logarit một cách khái quát và ngắn gọn nhất, bởi vì khi chúng ta nắm vững lý thuyết thì mới có thể làm bài tập đồ thị chính xác, hiểu bản chất và nhanh nhất được.

Chi tiết hơn, VUIHOC gửi tặng các em bộ tài liệu full lý thuyết về hàm số mũ – hàm số logarit nói chung và dạng toán đồ thị hàm số mũ và logarit. Các em nhớ tải về để tiện cho ôn tập nhé!

Tải xuống bộ tài liệu lý thuyết về đồ thị hàm số mũ và logarit

 

Đặc biệt, ở cuối bài viết này sẽ có một file tổng hợp toàn bộ lý thuyết về hàm số luỹ thừa – logarit – hàm mũ với đầy đủ công thức, tính chất và hơn hết là các bước giải đồ thị hàm số mũ và logarit. Các em nhớ đọc hết bài viết để lấy bộ tài liệu này nhé!

1. Ôn lại lý thuyết về hàm số cùng đồ thị hàm số mũ và logarit

1.1. Lý thuyết về hàm số mũ

1.1.1 Điểm nhanh kiến thức về luỹ thừa và các tính chất liên quan đến hàm số mũ

Bởi vì định nghĩa, tính chất của luỹ thừa có liên quan trực tiếp đến hàm số mũ, hay nói cách khác, hàm số mũ thuộc phạm trù của luỹ thừa (luỹ thừa phát triển được thành 2 dạng hàm số đó là hàm số luỹ thừa và hàm số mũ). Cho nên trước khi đi vào chi tiết về hàm số mũ, ta cần ôn lại kiến thức về luỹ thừa để vận dụng thật tốt. 

• Định nghĩa của luỹ thừa: Hiểu đơn giản, là một phép toán được viết dưới dạng $a^n$, bao gồm hai số, cơ số a và số mũ hoặc lũy thừa n, và được phát âm là “a lũy thừa n”. Khi n là một số nguyên dương, lũy thừa tương ứng với phép nhân lặp của cơ số (thừa số): nghĩa là $a^n$ là tích của phép nhân n cơ số:

Các tính chất của luỹ thừa được ứng dụng trong hàm số mũ:

• Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, ta có:

• Tính chất về bất đẳng thức: 

  • So sánh cùng cơ số: Cho m, n ∈ R. Khi đó:

TH1: Với $a>1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m>n$

TH2: Với $0<a<1$ thì $a^m>a^n\Rightarrow m<n$

• So sánh cùng số mũ:

TH1: Với số mũ dương $n>0$: $a>b>0\Rightarrow a^n>b^n$

TH2: Với số mũ âm $n<0$: $a>b>0\Rightarrow a^n<b^n$

 

1.1.2. Định nghĩa và đạo hàm hàm số mũ

Để vẽ được đồ thị hàm số mũ và logarit nói chung và đồ thị hàm số mũ nói riêng, chúng ta không được bỏ qua lý thuyết về định nghĩa, đạo hàm và tính chất. 

Về định nghĩa của hàm số mũ, theo kiến thức THPT đã được học, Hàm số $y=f(x)=a^x$ với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số a.

Một số ví dụ về hàm số mũ: $y=2^{x^2-x-6}$, $y=10^x$,…

 

Về đạo hàm của hàm số mũ, ta có công thức theo 2 định lý như sau:

Lưu ý: Hàm số mũ luôn có hàm ngược là hàm logarit

 

Về tính chất, học sinh cần lưu ý ghi nhớ tính chất để áp dụng thành thạo trong bước khảo sát vẽ đồ thị hàm số mũ và logarit nói chung và hàm số mũ nói riêng. 

Ta có bảng tính chất của hàm số mũ như sau:

Xét hàm số $y=a^x$ với $a>0$, $a\neq 1$:

 

1.2. Lý thuyết về hàm số logarit

1.2.1. Định nghĩa và đạo hàm của hàm số logarit

Cùng VUIHOC ôn tập lại định nghĩa về hàm số logarit trước khi đi vào xét đồ thị hàm mũ và logarit trong chương trình THPT nhé:

Cho số thực $a>0$, $a\neq 1$, hàm số $y=log_ax$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$. 

Tập xác định: Hàm số $y=log_ax$ $(0<a\neq 1)$ có tập xác định $D=(0;+\infty )$

Tập giá trị: Do $log_ax\in \mathbb{R}$ nên hàm số $y=log_ax$ có tập giá trị là $T=\mathbb{R}$.

Xét các trường hợp:

• Xét trường hợp hàm số $y=log_a[P(x)]$ điều kiện $P(x)>0$. Nếu a chứa biến $x$ thì ta bổ sung điều kiện $0<a\neq 1$

• Xét trường hợp đặc biệt: $y=log_a[P(x)]^n$ điều kiện $P(x)>0$ nếu $n$ lẻ; $P(x)\neq 0$ nếu $n$ chẵn.

 

Về đạo hàm hàm logarit, ta có những công thức như sau:

Cho hàm số $y=log_ax$. Khi đó đạo hàm hàm logarit trên là:

Trường hợp tổng quát hơn, cho hàm số $y=log_au(x)$. Đạo hàm là:

Đầy đủ hơn, các em tham khảo bảng công thức đạo hàm logarit dưới đây:

1.2.2. Tính chất hàm số logarit

Khi xét đồ thị của hàm số mũ và logarit, các em cần nhớ tính chất rất quan trọng và mang tính quyết định đúng sai của bài toán. Cụ thể, tính chất của hàm số logarit giúp chúng ta xác định được chiều biến thiên và nhận dạng đồ thị dễ hơn. 

Với hàm số $y=log_ax\Rightarrow y’=\frac{1}{xlna} (\forall x\in (0;+\infty ))$. Ta có:

• Với $a>1$ ta có $(log_ax)’=\frac{1}{xlna}>0$ Hàm số luôn đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$, đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.

• Với $ 0<a<1$ta có: (logax)’=1x lna<0 Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty )$, đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng.

 

2. Đồ thị hàm mũ và logarit

Để vẽ đúng đồ thị của hàm số mũ và logarit, các em cần thực hiện thứ tự theo các bước VUIHOC hướng dẫn dưới đây để tránh nhầm lẫn. Sau đó khi đã thành thục, các em có thể bỏ qua một số bước để rút gọn thời gian làm bài (đối với các bài đồ thị hàm mũ và logarit dạng trắc nghiệm).

2.1. Các bước vẽ đồ thị hàm số mũ và bài tập ví dụ

Khi chuẩn bị vẽ đồ thị hàm số mũ, các em cần lưu ý giá trị của cơ số a vì nó sẽ quyết định hàm số mũ đó đồng biến hay nghịch biến, từ đó suy ra chiều đồ thị của hàm số mũ. 

Đồ thị của hàm số mũ được khảo sát và vẽ dạng tổng quát như sau:

Đồ thị:

Đồ thị:

Chú ý: Đối với các hàm số mũ như $y=(\frac{1}{2})^x$, $y=10^x$, $y=e^x$, $y=2^x$ đồ thị của hàm số mũ sẽ có dạng đặc biệt như sau:

 

Để hiểu cụ thể hơn, các em cùng xét ví dụ minh hoạ sau đây:

VD: 

Lời giải

2.2. Cách vẽ đồ thị hàm số logarit và bài tập minh hoạ

Để vẽ đồ thị hàm số logarit, các em thực hiện lần lượt 3 bước sau đây:

Xét hàm số logarit $y=log_ax$

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Tập xác định D = (0 ; +∞), $y=log_ax$ nhận mọi giá trị trong $\mathbb{R}$.

Bước 2: Xác định giá trị a trong 2 trường hợp sau:

• Hàm số đồng biến trên R khi a > 1

• Hàm số nghịch biến trên R khi 0 < a ≠ 1.

Bước 3: Đồ thị qua điểm (1;0), nằm bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

Bước 4: Vẽ đồ thị

 

Để hiểu hơn về cách vẽ đồ thị hàm số logarit, các em cùng theo dõi ví dụ sau đây:

VD: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Tập xác định và tập giá trị

Vì a = 5>1 nên hàm số đồng biến $\mathbb{R}$

Đồ thị qua điểm (1;0), nằm bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên 

Đồ thị

 

3. Bài tập luyện tập về đồ thị hàm số mũ và logarit

Nhằm giúp các em giải các dạng toán đồ thị hàm số mũ và logarit nhanh và chính xác nhất, VUIHOC đã tổng hợp và biên soạn bộ bài tập full các dạng đồ thị hàm số mũ và logarit lớp 12. Trong file bài tập này, các thầy cô đã chọn lọc những bài tập có cấu trúc giống với các bài kiểm tra, các đề thi. Các em nhớ tải về để luyện tập nhé!

Tải xuống file trọn bộ bài tập đồ thị hàm số mũ và logarit

Tải xuống file tổng hợp lý thuyết hàm số mũ và logarit phiên bản siêu đặc biệt

 

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và cách làm bài tập đồ thị hàm số mũ và logarit. Các em nhớ luyện thật nhiều bài tập để thành thạo dạng toán này nhé!