Hiểu rõ về cách giải phương trình logarit khác cơ số - The first knowledge sharing application in Vietnam

Những cách giải phương trình logarit khác cơ số nào thông dụng và hiệu quả nhất? Cùng trường VUIHOC thông hiể mọi cách giải phương trình logarit khác cơ số nhé!

Để có cái nhìn tổng quan nhất về phương trình logarit cũng như các bài tập giải phương trình logarit khác cơ số, các em cùng theo dõi bảng dưới đây:

tổng quan về giải phương trình logarit khác cơ số

Để tiện lợi hơn trong ôn tập hay theo dõi bài giảng về cách giải phương trình logarit khác cơ số dưới đây, các em đừng quên tải xuống file tổng hợp lý thuyết dưới đây nhé!

Tải xuống file tổng ôn lý thuyết về phương trình logarit – giải phương trình logarit khác cơ số

1. Ôn tập lại lý thuyết tổng quan về phương trình logarit

Mục lục bài viết

1.1. Định nghĩa về logarit và phương trình logarit

Về logarit ta có định nghĩa: logarit của một số là lũy thừa mà một giá trị cố định, gọi là cơ số, phải được nâng lên để tạo ra số đó. Có thể hiểu đơn giản, logarit chính là phép toán nghịch đảo của lũy thừa, hiểu 1 cách đơn giản hơn thì hàm logarit chính là đếm số lần lặp đi lặp lại của phép nhân.

Công thức chung của logarit có dạng như sau:

Logarit có công thức là logab trong đó $b>0, 0<a\neq 14

Về phương trình logarit, với cơ số a dương và khác 1 thì phương trình có dạng như sau được gọi là phương trình logarit cơ bản: $log_ax=b$

Ta thấy vế trái của phương trình là hàm đơn điệu có miền giá trị là $\mathbb{R}$. Vế phải phương trình là một hàm hằng. Vì vậy phương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất. Theo định nghĩa của logarit ta dễ dàng suy ra nghiệm đó là $x=a^b$

Với điều kiện 0<a ≠ 1, ta có các phương trình logarit cơ bản như sau:

các phương trình logarit cơ bản

1.2. Các công thức áp dụng trong cách giải phương trình logarit khác cơ số

Một số công thức biến đổi logarit vận dụng để giải phương trình logarit khác cơ số được VUIHOC tổng hợp tại bảng sau đây, các em lưu ý nhé:

công thức biến đổi giải phương trình logarit khác cơ số

Hai quy tắc tính logarit quan trọng dùng để biến đổi khi giải phương trình logarit khác cơ số mà các em cần ghi nhớ:

Quy tắc logarit của 1 tích:

– Công thức logarit của một tích như sau: $log(ab)=log(a)+log(b)$.

– Điều kiện: $a, b$ đều là số dương với $0<\alpha\neq 1$

– Đây là logarit hai số a và b thực hiện theo phép nhân thông qua phép cộng logarit ra đời vào thế kỷ 17. Sử dụng bảng logarit, ta sẽ đưa logarit về cơ số $a=10$ là logarit thập phân sẽ dễ dàng tra bảng, tính toán hơn. Logarit tự nhiên với hằng số e là cơ số (khoảng bằng 2,718) được áp dụng thuận tiện trong toán học. Logarit nhị phân có cơ số 2 được dùng trong khoa học máy tính.

– Nếu muốn thu nhỏ phạm vi các đại lượng, bạn dùng thang logarit.

Quy tắc logarit của 1 luỹ thừa:

– Ta có công thức logarit như sau: $log_ab=log_ab$

– Điều kiện với mọi số α và $a, b$ là số dương với $0<\alpha \neq 1$

Đối với phương trình logarit nói chung và trong cách giải phương trình logarit khác cơ số nói riêng, chúng ta cần lưu ý thêm các công thức dưới đây:

công thức phương trình logarit

2. Cách giải phương trình logarit khác cơ số

2.1.Cách giải phương trình logarit khác cơ số bằng phương pháp đổi cơ số

Công thức đổi cơ số áp dụng trong cách giải phương trình logarit khác cơ số như sau: $log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}$. Trong đó $a, b, c$ là các số thực dương và $b$ khác 1. Thường thì phương pháp đổi cơ số cho các phương trình khác cơ số chỉ hữu hiệu khi biểu thức trong các logarit giống nhau.

Ta xét ví dụ minh hoạ áp dụng công thức đổi cơ số:

Giải phương trình $log_2x+log_3x=12$.

Điều kiện xác định $x>0$

$log_2x+log_32.log_2x=12$

$log_2x=\frac{12}{1+log_32}\Leftrightarrow 2.\frac{12}{1+log_32}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=2.\frac{12}{1+log_32}$

2.2. Áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình mũ

Khi biểu thức dưới các dấu logarit khác nhau thì các bạn nên nghĩ đến phương pháp này. Gợi ý là ta có thể đặt một logarit bằng $t$. Sau đó rút thế ngược lại để được phương trình mũ.

Ta xét ví dụ sau để hiểu cách giải phương trình logarit khác cơ số này:

Ví dụ 1: Giải phương trình logarit khác cơ số sau:

${{\log }_{2}}\left( 1+\sqrt{x} \right)={{\log }_{3}}x$

Điều kiện xác định : x>0. Đặt $t={{\log }_{3}}x\Leftrightarrow x={{3}^{t}}$ .

Phương trình trở thành: Hàm số $f\left( t \right)={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{t}}$ là hàm số nghịch biến nên phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm duy nhất t=2 . ${{\log }_{2}}\left( 1+\sqrt{{{3}^{t}}} \right)=t\Leftrightarrow 1+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{t}}={{2}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{t}}+{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{t}}=1\,\,\left( * \right).$

Với t=2 thì ${{\log }_{3}}x=2\Leftrightarrow x=9.$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=9.

Ví dụ 2:

Giải phương trình logarit khác cơ số

2.3. Cách giải phương trình logarit khác cơ số bằng biến đổi tương đương

Đối với một số cách giải phương trình logarit khác cơ số, biến đổi tương đương có thể giải được phương trình. Ở phương pháp này, các em cần áp dụng một hoặc nhiều công thức biến đổi logarit, phương trình logarit đã được tổng hợp ở phần lý thuyết.

Ta cùng xét ví dụ minh hoạ sau đây để hiểu về phương pháp giải phương trình logarit khác cơ số này:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau ${{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-5x+4 \right)-3{{\log }_{5}}\left( x-1 \right)=2+{{\log }_{5}}\left( x-4 \right)$

Điều kiện xác định:

$\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}-5x+4>0 \\ x-1>0 \\ x-4>0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow x>4.$

Ta có:

${{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-5x+4 \right)-3{{\log }_{5}}\left( x-1 \right)=2+{{\log }_{5}}\left( x-4 \right) \\ \Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{5}}\left( x-4 \right)-3{{\log }_{5}}\left( x-1 \right)=2+{{\log }_{5}}\left( x-4 \right) \\ \Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x-1 \right)=-1 \\ \Leftrightarrow x-1={{5}^{-1}} \\ \Leftrightarrow x=\frac{6}{5}. \\$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 2:

Giải phương trình logarit khác cơ số

2.4. Dùng phương pháp đánh giá 2 vế để giải phương trình logarit khác cơ số

Nếu phương trình logarit khác cơ số có dạng f(x)=g(x) xác định trên miền D. Đồng thời $f(x)\ge M$ và $g(x)\le M$ với mọi giá trị x thuộc miền D thì phương trình đã cho chỉ có nghiệm khi dấu bằng của các bất phương trình trên xảy ra.

Các em học sinh cùng xét ví dụ minh hoạ sau:

Giải phương trình ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)=x\left( 2-x \right)+{{\log }_{3}}x$

Điều kiện : x>0.

${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)=x\left( 2-x \right)+{{\log }_{3}}x \\ \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x}=x\left( 2-x \right) \\$

Với x>0 thì :

${{\log }_{3}}\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x}={{\log }_{3}}\left( x+\frac{1}{x}+1 \right)\ge {{\log }_{3}}3=1$ .

Mặt khác $2x-{{x}^{2}}\le 1$ .

Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1.

3. Bài tập áp dụng cách giải phương trình logarit khác cơ số

Để thành thạo giải phương trình logarit khác cơ số, các em cần có đủ tư liệu kết hợp với luyện tập hằng ngày. Các em đừng quên tải file tổng hợp bài tập giải phương trình logarit khác cơ số thầy cô VUIHOC biên soạn chọn lọc dưới đây nhé!

Tải xuống file bài tập giải phương trình logarit khác cơ số chọn lọc có giải chi tiết

Các em vừa cùng trường VUIHOC ôn tập lại kiến thức và các phương pháp giải phương trình logarit khác cơ số. Chúc các em ôn tập tốt nhé!